São aqueles retângulos para os quais vale a relação de Pitágoras $a^2 = b^2 + c^2$, sendo $a$ a hipotenusa, e $b$ e $c$ os catetos, sendo seus módulos números naturais.
Observemos que o primeiro membro da relação deve ser um quadrado perfeito. Vamos pois igualá-lo ao desenvolvimento de $(x\ +\ y)^2$, sendo $x$ e $y$ naturais, buscando uma soma de quadrados perfeitos:
$a^2\ =\ x^2\ +\ 2xy\ +\ y^2\ =\ x^2\ +\ y^2\ + 2xy\ =$
$=\ (x\ -\ y)^2\ +\ 2xy\ +\ 2xy$
$(x\ +\ y)^2\ =\ (x\ -\ y)^2\ + 4xy$
Lembrando que os naturais são fechados com relação à soma e multiplicação, $(x\ +\ y)^2$ e $(x\ -\ y)^2$ (com $x\ >\ y$) são quadrados perfeitos, mas não podemos dizer o mesmo sobre $4xy$.
Mas se tomarmos $p$ e $q$ naturais tais que $p^2\ =\ x$ e $q^2\ =\ y$, teremos:
$(p^2\ +\ q^2)^2\ =\ (p^2\ -\ q^2)^2\ + (2pq)^2$
Assim podemos construir qualquer triângulo pitagórico arbitrando dois naturais quaisquer $p$ e $q$ (com $p\ >\ q$ para $b$ ser natural).
Exemplos:
$(p,q)\ =\ (2,1)\ \Rightarrow\ (a=2^2+1^2=5)\ \wedge\ (b=2^2-1^2=3)\ \wedge$
$\wedge\ (c=2\cdot 2\cdot 1=4)$
$(p,q)\ =\ (3,1)\ \Rightarrow\ (a=3^2+1^2=10)\ \wedge\ (b=3^2-1^2=8)\ \wedge$
$\wedge\ (c=2\cdot 3\cdot 1=6)$
$(p,q)\ =\ (5,2)\ \Rightarrow\ (a=5^2+2^2=29)\ \wedge\ (b=5^2-2^2=21)\ \wedge$
$\wedge\ (c=2\cdot 5\cdot 2=20)$
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Fonte auxiliar: Geometria Métrica. Guelli, Iezzi, Dolce. Editora Moderna.
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