A terceira lei de Kepler.

Enunciado:

Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.

De fato:

Considerando as órbitas trajetórias circulares, a força resultante sobre o astro será centrípeta. E usando a gravitação de Newton, teremos:

$\dfrac{mv^2}{R}\ =\ G\dfrac{mM}{R^2}$

Onde $m$ é a massa do planeta, $M$ é a massa do Sol, $R$ é a distância que separa os astros, $v$ é a velocidade do planeta, e $G$ é a constante gravitacional universal.

Dela concluímos:

$\dfrac{v^2}{R}\ =\ G\dfrac{M}{R^2}$

$v\ =\ \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$

Como o comprimento da trajetória é $2\pi R$, e chamando de $T$ o período de translação, teremos:

$T\ =\ \dfrac{2\pi R}{v}\ =\ \dfrac{2\pi R}{\sqrt{\dfrac{GM}{R}}}\ =\ \sqrt{\dfrac{4 \pi^2 R^3}{GM}}$

Donde $T^2\ =\ \dfrac{4 \pi^2 R^3}{GM}$.

Notemos que $\dfrac{4 \pi^2}{GM}$ é constante. Logo:

$T^2\ \propto\ R^3$

Vale destacar mais um fato:

Segundo as observações de Tycho Brahe, tomando $T$ em anos e $R$ em unidades astronômicas, a constante de proporcionalidade é $1$. Logo:

$\dfrac{4 \pi^2}{GM}\ =\ 1 \Rightarrow\ GM\ =\ 4 \pi^2$

Ou seja, se Newton, ao enunciar a lei da gravitação universal, se conhecesse a massa do Sol, poderia determinar a constante $G$ 100 anos antes de Cavendish.