Exercício: escada apoiada.

1) Uma escada uniforme, de $5,0 m$ de comprimento e peso igual a $40 kgf$, está em equilíbrio com sua parte superior encostada em uma parede vertical sem atrito, tendo sua base apoiada no chão a $3,0 m$ da parede.

a) Faça um diagrama correspondente à situação, mostrando todas as forças que atuam na escada.

b) Determine a reação normal da parece ($N_1$), do chão ($N_2$) e a força de atrito na escada ($f$).

2) Suponha que um homem, pesando $90 kgf$, suba lentamente na escada do problema anterior. Sendo o coeficiente de atrito entre o chão e a escada igual a $0,40$, determine a máxima distância que o homem pode subir ao longo da escada sem que ela escorregue.
____________________

Resolução:

1-a:

1-b:

Verticalmente, só temos o peso da escada e a reação de apoio $\overrightarrow{N_2}$, logo serão iguais em módulo.

$N_2\ =\ 40\ kgf$

Horizontalmente temos apenas a reação de apoio na parede $\overrightarrow{N_1}$ e a força de atrito $\overrightarrow{f}$. Portanto, iguais em módulo.

$N_1\ =\ f$

Mas como $f$ é desconhecido, utilizaremos a ferramenta do equilíbrio de rotação, considerando seu torque.

Tomando como referência o ponto de encontro da escada com a parede, teremos:

$\sum M\ =\ 0$

$M_{N_1}\ +\ M_E\ +\ M_{N_2}\ +\ M_f\ =\ 0$ (eq. 1)

Sendo $\overrightarrow{E}$ o peso da escada.

$M_{N_1}$ será nulo pois $\overrightarrow{N_1}$ está aplicada no ponto de referência.

Notemos que a componente perpendicular à escada de $\overrightarrow{E}$ fará o mesmo ângulo de inclinação da escada com relação ao chão. Ângulo tal que seu cosseno é $\dfrac{3}{5}$. Assim:

$M_E\ =\ -\ 40\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ \dfrac{5}{2}\ =\ -60\ kgf\cdot m$ Onde o torque é negativo por provocar uma rotação horária.

$\overrightarrow{N_2}$ também fará o mesmo tal ângulo com a perpendicular à escada. Assim:

$M_{N_2}\ =\ 40\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ 5\ =\ 120\ kgf\cdot m$

Já a componente perpendicular de $\overrightarrow{f}$ fará o ângulo complementar do ângulo de inclinação da escada. Assim, o cosseno do primeiro será seno do segundo. Chamemos de $\theta$ o ângulo de inclinação.

$\sin^2 \theta\ +\ (\dfrac{3}{5})^2 =\ 1$

$\sin \theta\ =\ \dfrac{4}{5}$

Temos então:

$M_f\ =\ -\ f\ \cdot\ \dfrac{4}{5}\ \cdot\ 5$

Substituindo tudo em (eq. 1):

$-60\ + 120\ -\ 4f\ =\ 0\ \Rightarrow\ f\ =\ 15\ kgf\ = N_1$
__

2:



Se um homem sobe a escada, consideremos $d$ a máxima distância para a qual a força de atrito estático será a máxima.

Seguindo os mesmos raciocínios da questão anterior, teremos $N_2\ =\ 130\ kgf$, e $f_{eM}\ =\ 40\%\ \cdot\ 130\ =\ 52\ kgf$.

Adicionando o novo termo à (eq. 1), e reconsiderando os novos valores para $f\ =\ f_{eM} $ e $ N_2$, teremos:

$-60\ + 130\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ 5\ -\ 4\ \cdot\ 52\ -\ 90\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ (5\ -\ d)\ =\ 0$

Com dois algarismos significativos: $d\ =\ 2,7\ m$.