$a^3 + b^3$: um produto não tão notável, mas útil.

Desenvolvendo o binômio $(a+b)^3$, temos:

$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3$

$(a+b)[(a+b)^2 - 3ab] = a^3 + b^3$

Logo:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

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Aplicação:

Racionalizar o denominador:

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1}$

Resolução:

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$, teremos:

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$

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Aplicação:

Calcular o determinante:

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

Usando a regra de Chió, teremos:

$D = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$

$D = \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b^2 + ba + a^2) & (c-a)(c^2 + ca + a^2) \end{vmatrix}$

Extraindo os fatores $(b-a)$ da primeira coluna e $(c-a)$ da segunda coluna, teremos:

$D = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (b^2 + ba + a^2) & (c^2 + ca + a^2)\end{vmatrix} =$

$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$

Logo:

$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$