Um número divisível por $3$ é da forma $3k$, onde $k$ é inteiro. Seu sucessor é da forma $3k+1$, o sucessor deste é da forma $3k+2$, e o sucessor deste é da forma $3k+3\ =\ 3(k+1)\ =\ 3\ell$, onde $\ell$ é inteiro, portanto também divisível por $3$.
Tomemos o produto de três inteiros consecutivos $P\ =\ xyz$:
Se $x$ é divisível por $3$, $P$ também o será.
Se $x$ for da forma $3k+1$, $z$, o sucessor do sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
Se $x$ for da forma $3k+2$, $y$, o sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.
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