Exercício: equação do 2º grau: operações entre raízes.

Sendo $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $x^2 - 9x + 6 = 0$, determine os valores de:

a) $r_1 + r_2$.	c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}$.	e) ${r_1}^3 + {r_2}^3$.
b) $r_1 \cdot r_2$.	d) ${r_1}^2 + {r_2}^2$.	f) $r_1 - r_2$.

Resolução:

De imediato:

a) $r_1 + r_2 = 9$.

b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.

Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:

c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.

d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.

e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.

f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.