Exercício: distância entre pontos médios.

Numa reta $r$, tomemos os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ e um ponto $P$ de modo que $\overline{AB}$ seja o quíntuplo de $\overline{PC}$, $\overline{BC}$ seja o quádruplo de $\overline{PC}$ e $AP\ =\ 80\ cm$. Sendo $M$ e $N$ os pontos médios de $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, respectivamente, determine $MN$.

Resolução:

Primeiramente, vamos cogitar possíveis posições para o ponto $P$.
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Primeiro caso:

$P$ estar entre $A$ e $B$.

$B$ estará entre $P$ e $C$.

$\overline{PC}\ >\ \overline{BC}$

O que é um absurdo, visto que, por hipótese, $\overline{BC}$ é o quádruplo de $\overline{PC}$.
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Segundo caso:

$A$ estar entre $P$ e $B$.

$B$ estará entre $P$ e $C$ e recairemos no primeiro caso.
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Terceiro caso:

$P$ estar entre $B$ e $C$.

$\overline{BC}\ >\ \overline{PC}$, o que é verdadeiro, logo esta é uma possível posição para $P$.
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Quarto caso:

$C$ estar entre $B$ e $P$.

$\overline{PC} + \overline{BC}\ =\ \overline{PB}$, um caso passível de análise.
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Estudando o terceiro caso:

$\overline{BC} = 4(\overline{PC})$

$\overline{AB} = 5(\overline{PC})$

$\overline{AP} = (5 + 4 - 1)(\overline{PC})$

$80\ =\ 8\ \cdot\ m(\overline{PC})\ \Rightarrow\ m(\overline{PC})\ =\ 10\ cm\ \Rightarrow\ AB\ =\ 50\ cm\ \wedge$

$\wedge\ BC\ =\ 40\ cm$

$m(\overline{MN})\ =\ \dfrac{m(\overline{AB} + \overline{BC})}{2}\ =\ 45\ cm$
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Estudando o quarto caso:

$\overline{BC} = 4(\overline{PC})$

$\overline{AB} = 5(\overline{PC})$

$\overline{AP}\ =\ (5 + 4 + 1)(\overline{PC})\ =\ 10(\overline{PC})\ \Rightarrow\ m(\overline{PC})\ =\ 8\ cm$

$m(\overline{AB})\ =\ 40\ cm$

$m(\overline{BC})\ =\ 32\ cm$

$m(\overline{MN})\ =\ \dfrac{\overline{AB} + \overline{BC}}{2}\ =\ 36\ cm$