(Cesgranrio-RJ) Uma loja está fazendo uma promoção na venda de balas: "Compre $x$ balas e ganhe $x\%$ de desconto". A promoção é válida para compras de até $60$ balas, caso em que é concedido o desconto máximo de $60\%$. Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram $10$, $15$, $30$ e $45$ balas, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?
Resolução :
Alfredo comprou o equivalente a $10(1 - \dfrac{10}{100})\ =\ 9$ balas.
Beatriz comprou o equivalente a $15(1 - \dfrac{15}{100})\ =\ 12,75$ balas.
Carlos comprou o equivalente a $30(1 - \dfrac{30}{100})\ =\ 21$ balas.
Daniel comprou o equivalente a $45(1 - \dfrac{45}{100})\ =\ 24,75$ balas.
A função que retorna o quanto cada um irá pagar, dado o número de balas que comprou, é:
$f(x)\ =\ x(1 - \dfrac{x}{100})\ =\ -\dfrac{x^2}{100} + x$
Essa função terá um máximo, onde o número de balas para este máximo é tal que:
$x_v\ =\ -\dfrac{1}{(-\dfrac{2}{100})}\ =\ 50$ balas.
Como todos os compradores compraram menos que $50$ balas, cada um, segundo a função poderia comprar uma maior quantidade tal que pagaria o mesmo preço por ela. Porém a diferença entre entre o $x_v$ e o número de balas compradas não pode superar $ 60 - 50\ =\ 10$. Portanto apenas Daniel poderia comprar mais balas, a saber $50 + (50 - 45)\ =\ 55$ balas, de tal forma que pagaria o equivalente à $ 24,75$ balas.
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