Seja $V$ o espaço vetorial de todas as funções do corpo $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostrar que $W = \{f : |f(x)| \le M,\ M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R}\}$, ou seja, o conjunto das funções reais limitadas, é um subespaço de $V$.
$W$ é não vazio, pois, dentre outras, $f(x) = c,\ c \in \mathbb{R}$ pertencem a $W$. ${\large (I)}$
$|f(x)| \le M\ \Rightarrow\ |kf(x)| \le |k|M$ ${\large (II)}$
$|f(x)| \le M\ \wedge\ |g(x)| \le N\ \Rightarrow\ |f(x) + g(x)| \le M + N$ ${\large (III)}$
${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}$ demonstram o teorema.
Quod Erat Demonstrandum.
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