Se duas matrizes escalonadas tem o mesmo espaço de linhas, os elementos distinguidos estão nas mesmas posições. Ou seja, se $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{k\ell})$ tem o mesmo espaço de linhas, se $a_{ij_m}$ e $b_{k\ell_n}$ são os elementos distinguidos das linhas $i$ de $A$ e $B$, $j_m = \ell_n$ para $i = k$.
Tomemos a linha $R_1$ de $A$. $R_1$ é uma combinação linear das linhas de $B$. Como, $a_{1j_1} = \displaystyle\sum_{o = 1}^s c_o b_{o \ell_1} = c_1 b_{1 \ell_1}$ e $a_{1j_1} \neq 0$ e $b_{1 \ell_1} \neq 0$, $c_1 \neq 0$, logo $j_1 = \ell_1$.
Provemos agora que a matriz $A'$, resultante da remoção da primeira linha de $A$ tem o mesmo espaço de linhas da matriz $B'$, resultante da remoção da primeira linha da matriz $B$.
Sejam $R_i,\ i \neq 1$, uma linha de $A$ e $R'_k$ uma linha de $B$, $R_i$ é uma combinação linear das linhas de $B$. Como $a_{ij_1} = 0,\ \forall i \neq 1$, $R_i = \displaystyle\sum_{o=2}^s c_o R'_o$, logo $A'$ e $B'$ tem o mesmo espaço de linhas.
Procedendo recursivamente estas duas etapas até que se tenha chegado à última linha não nula de $A$, repetindo todo o procedimento permutando-se $A$ e $B$, o teorema está demonstrado.
Quod Erat Demonstrandum.
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