A intersecção de subespaços de $V$ é um subespaço de $V$.

Sejam $U$ e $W$ dois subespaços de $V$, e $v',v'_1, v'_2 \in U \cap W$.

$O \in U\ \wedge\ O \in W\ \Rightarrow\ O \in U \cap W\ {\large (I)}$

$v' \in U\ \Rightarrow\ kv' \in U\ {\large (II)}$

$ v' \in W\ \Rightarrow\ kv' \in W\ {\large (III)}$

${\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}\ \Rightarrow\ kv' \in U \cap W\ {\large (IV)}$

$v'_1 \in U\ \wedge\ v'_2 \in U\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in U\ {\large (V)}$

$v'_1 \in W\ \wedge\ v'_2 \in W\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in W\ {\large (VI)}$

${\large (V)}\ \wedge\ {\large (VI)}\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in U \cap W\ {\large (VII)}$

${\large (I)}$, ${\large (IV)}$ e ${\large (VII)}$ são suficientes para demonstrar o teorema.

Quod Erat Demonstrandum.