segunda-feira, 10 de dezembro de 2012

Exercício : produção de um pomar.

(Unicamp-SP) Em um pomar em que existiam $ 30 $ laranjeiras produzindo, cada uma, $ 600 $ laranjas, foram plantadas $ n $ novas laranjeiras. Depois de um certo tempo, constatou-se que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo $ 10 $ laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar.

Se $ f(n) $ é a produção anual do pomar :

a) determine a expressão algébrica de $ f(n) $.

b) determine os valores de $ n $ para os quais $ f(n)\ =\ 0 $.

c) quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tivesse produção máxima ?

d) qual o valor dessa produção ?

Resolução :

a) A produção será dada pela multiplicação entre o número de laranjeiras e o número de laranjas produzidas por cada uma.

$ f(n)\ =\ (600 - 10n)(30 + n)\ =\ -10n^2\ +\ 300n\ +\ 18000 $

b) $ f(n)\ =\ 0\ \Leftrightarrow\ (600 - 10n)\ =\ 0\ \vee\ (30 + n)\ =\ 0\ \Leftrightarrow\ n\ \in\ \{60\ ,\ -30\} $

c) Tomando a função quadrática $ f(n) $, $ n_v\ =\ -\frac{300}{(-20)}\ =\ 15 $

d) $ f(15)\ =\ 20250 $

2 comentários:

  1. Respostas
    1. Já entendi.
      1º Montar a função quadratica.
      f(n)=(30+n).(600-10n) //sendo n as laranjeira novas
      f(n)=18000-300n+600n-10n^2
      f(n)=-10n^2+300+18000 //pronto

      Para a máxima produção acha-se o vertice pela formula:
      -b/2a

      = -300/2(-10)
      =15

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