(Fuvest-SP) Um estudante terminou um trabalho que tinha $n$ páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página $1$, ele escreveu $270$ algarismos. Qual o valor de $n$?
Resolução:
Consideremos primeiramente os números que possuem apenas $1$ algarismo. Tais são os inteiros que variam de $1$ a $9$, são portando $9$ números.
Consideremos agora os números com $2$ algarismos. Tais são os inteiros que variam de $10$ a $99$, são portando $99 - 10 + 1\ =\ 90$ números. Como estes possuem $2$ algarismos, eles terão ao total $90\ \cdot\ 2\ =\ 180$ algarismos.
Sobraram $270 - (180 + 9)\ =\ 81$ algarismos para serem contados.
Como os próximos números possuem $3$ algarismos cada, teremos $\frac{81}{3}\ =\ 27$ números.
Como o último número a ser computado foi o $99$, $n\ =\ 99 + 27\ =\ 126$.
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