terça-feira, 4 de dezembro de 2012

Exercício : demonstrar racionalidade de $\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$

Chamemos $ x\ =\ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} $

Como $ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} > \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} $, então $ x\ >\ 0 $.

$ x^2\ =\ (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2\ = $

$ =\ 8 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} + 8 - 2\sqrt{7}\ = $

$ =\ 16 - 2\sqrt{64 - 28}\ =\ 16 - 12 $

Logo :

$ x^2\ =\ 4 $

Como $ x\ >\ 0 $, $ x\ =\ 2 $, logo $ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} $ é racional.

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