A contra-positiva de uma implicação.

Consideremos uma proposição da forma "se $p $ então $q $", simbolizada por $p\ \rightarrow\ q $. Uma outra forma de dizer a mesma coisa seria "Se não $q $ então não $p $", simbolizada por $\sim q\ \rightarrow\ \sim p $. Provemos:

Construamos a tabela-verdade para cada uma das possivilidades entre as veracidades de $p $ e $q $.

$p $	$q $	$p\ \rightarrow\ q $	$\sim q\ \rightarrow\ \sim p $
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Observemos que as colunas $p\ \rightarrow\ p $ e $\sim q\ \rightarrow\ \sim p $ são idênticas, logo as duas proposições compostas são equivalentes, ou seja, para afirmar uma mesma sentença, tanto faz usar uma ou outra.

Tomemos um exemplo :

Uma função é injetora se, dados dois elementos distintos do domínio, suas imagens também serão distintas. Simbolicamente :

$x_1\ \neq\ x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\ \neq\ f(x_2) $

O que seria equivalente a dizer:

Uma função é injetora se, se duas imagens são iguais, seus respectivos correspondentes também são iguais. Simbolicamente :

$f(x_1)\ =\ f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1\ =\ x_2 $