Exercício: encontrar raízes de uma equação polinomial dadas algumas.

Sabe-se que a equação $x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10 = 0$ admite as raízes complexas $1 - i$ e $2 + i$. Quais as demais raízes dessa equação?

Resolução:

Seja $P(x) \equiv x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10$.

Dividindo $P(x)$ por $x - (1 - i)$, e, em seguida, por $x - (2 + i)$, utilizando Briot-Ruffini:

$\begin{array}{c|c c c c c}1 - i & 1 & -6 & 15 & -18 & 10\\ 2 + i& 1 & -5 - i & 9 + 4i & -5 - 5i & 0\\ & 1 & -3 & 3 + i & 0 &\end{array}$

Logo as raízes procuradas serão as raízes de $x^2 - 3x + (3 + i)$.

$\Delta = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$

Para extrair as raízes quadradas de $-3 - 4i$ vamos o por em sua forma trigonométrica:

$5(\cos \arccos -\dfrac{3}{5} + i \cdot \sin \arcsin -\dfrac{4}{5})$

Seja $\theta$ o argumento de uma das raízes quadradas, a de menor argumento, (observemos que, se $2\theta$ pertence ao terceiro quadrante (seno negativo e cosseno negativo), $\theta$ será um arco do segundo quadrante):

$-\dfrac{3}{5} = 2\cos^2 \theta - 1\ \Rightarrow\ \cos \theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = \sqrt{1 - (-\dfrac{\sqrt{5}}{5})^2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Chamando de $R_1$ e $R_2$ as raízes quadradas de $-3 - 4i$, teremos:

$R_1 = \sqrt{5}(-\dfrac{\sqrt{5}}{5} + i \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}) = -1 + 2i$

$R_2 = 1 - 2i$

Continuando a resolução de $x^2 - 3x + (3 + i) = 0$:

$x' = \dfrac{3 - 1 + 2i}{2} = 1 + i$

$x'' = \dfrac{3 + 1 - 2i}{2} = 2 - i$

Logo as raízes procuradas são $\fbox{$1 + i$}$ e $\fbox{$2 - i$}$.

Calculadora: matriz inversa.

Entre com uma string matriz de números reais onde as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas são separadas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 4".

Output:

"
-2 1
3/2 -1/2
"




Matriz inversa:

Calculadora: multiplicação de matrizes.

Entre com uma string contendo as duas matrizes de números reais separadas pelo caractere "x"; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";", as colunas são separadas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 4 x 2, 3; 4, 5".

Output:

"
10 13
22 29
"




Produto:

Calculadora: determinante.

Entre com uma string matriz de números reais; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 0.5". Output: "-5.5".




Determinante:

Exercício: condição de um número complexo para que seja real.

Qual o valor de $a$, com $a \in \mathbb{R}$ que torna real o quociente $\dfrac{3 - 2ai}{4 - 3i}$?

Resolução:

A parte imaginária deve ser nula.

$\dfrac{3 - 2ai}{4 - 3i} = \dfrac{(3 - 2ai)(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)} = \dfrac{(12 + 6a) + (9 - 8a)i}{25}$

$9 - 8a = 0\ \therefore\ \fbox{$a = \dfrac{9}{8}$}$

Calculadora: massa molecular.

Entre com uma fórmula, os elementos químicos são separados por vírgula ",", a multiplicidade de um elemento é dada pelo número natural passado após dois pontos ":" após o símbolo do elemento químico:

Exemplos:

Input: "O:2". Output: "31.9988".
Input: "H:2,S:1,O:4". Output: "98.07948".




Massa molecular:

Calculadora: balanceamento de equações químicas.

Entre com uma string contendo a equação, o primeiro membro é separado do segundo pelo caractere ">", as fórmulas são separadas pelo caractere "+", dentro de uma fórmula, os elementos químicos são separados por vírgula ",", a multiplicidade de um elemento é dada pelo número natural passado após dois pontos ":" após o símbolo do elemento químico:

Exemplos:

Input: "H:2 + O:2 > H:2,O:1". Output: "2 , 1 , 2".
Input: "C:8,H:18 + O:2 > C:1,O:2 + H:2,O:1". Output: "2 , 25 , 16 , 18".




Coeficientes estequiométricos:

Exercício: número complexo como imaginário puro.

Para que valor(es) de $a$, com $a \in \mathbb{R}$, o número complexo $z = a^2 - 1 + (a + 1)i$ é imaginário puro?

Resolução:

Para que seja imaginário puro, a parte real deve ser nula, e a parte imaginária não nula:

$\begin{cases}a^2 - 1 = 0\\ a + 1 \neq 0\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}a = 1\ \vee\ a = -1\\ a \neq -1\end{cases}\ \therefore\ \fbox{$a = 1$}$

Exercício: pirâmide cortada em volumes iguais.

Uma pirâmide regular tem altura $6$ e a medida do lado da base quadrada igual a $4$. Ela deve ser cortada por um plano paralelo à base, a uma distância $d$ dessa base, de forma a determinar dois sólidos de mesmo volume. Qual deve ser a distância $d$?

Resolução:

Como a razão entre os volumes da pirâmide original e a cortada pelo plano é $2$, a razão de semelhança entre as duas deve ser $\sqrt[3]{2}$. Assim:

$\dfrac{6}{6 - d} = \sqrt[3]{2}$

$6 - d = \dfrac{6}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{6\sqrt[3]{4}}{2} = 3\sqrt[3]{4}$

$\fbox{$d = 6 - 3\sqrt[3]{4}$}$

Exercício: uma circunferência determinada por três de seus pontos e a distância do seu centro à origem.

Uma circunferência passa pelos pontos $(2, 0)$, $(2, 4)$ e $(0, 4)$. Qual a distância do centro dessa circunferência à origem?

Resolução:

Chamemos o centro da circunferência de $C(a, b)$.

$C$ equidista dos três pontos dados:

$\sqrt{(a - 2)^2 + b^2}\ \text{(I)}\ =\ \sqrt{(a - 2)^2 + (b - 4)^2}\ \text{(II)}\ =$

$=\ \sqrt{a^2 + (b - 4)^2}\ \text{(III)}$

Igualando (I) e (II):

$b^2 = (b - 4)^2\ \Rightarrow\ b^2 = b^2 - 8b + 16\ \Rightarrow\ b = 2$

Igualando (I) e (III):

$(a - 2)^2 = a^2\ \Rightarrow\ a^2 - 4a + 4 = a^2\ \Rightarrow\ a = 1$

Calculemos agora o comprimento do segmento $\overline{OC}$:

$OC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \fbox{$\sqrt{5}$}$

Exercício: determinar o centro e o raio de uma circunferência dada sua equação geral.

Determine o centro $C$ e o raio $R$ da circunferência representada pela equação $5x^2 + 5y^2 - 10x - 10y + 5 = 0$.

Resolução:

Chamemos tal circunferência de $\lambda$. Primeiramente vamos deixar os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ iguais a $1$:

$\lambda :\ x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$

Agora reunindo os termos em cada variável e, em seguida, completando os quadrados:

$\lambda :\ (x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + 1 = 0$

$\lambda :\ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 1 - 1 - 1 = 0$

$\lambda :\ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

Que é sua equação reduzida, donde concluímos que:

$\fbox{$C(1, 1)\ \text{e}\ R = 1$}$

Exercício: lugar geométrico simétrico de uma reta com relação a um ponto.

Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais $xOy$, considere a reta $r$ de equação $y = x + 1$ e o ponto $P(2, 1)$. Qual o lugar geométrico dos pontos do plano, simétricos dos pontos de $r$ em relação a $P$?

Resolução:

$P$ será o ponto médio dos pontos de $r$ e dos pontos do lugar geométrico procurado.

Chamemos de $G(k, k + 1)$ um ponto genérico de $r$ e $Q(x, y)$ um ponto também genérico do lugar geométrico.

$\dfrac{x + k}{2} = 2\ \Rightarrow\ x = 4 - k$

$\dfrac{y + (k + 1)}{2} = 1\ \Rightarrow\ y = 1 - k$

Temos então as equações paramétricas do lugar geométrico procurado:

$\begin{cases}x = 4 - k\\ y = 1 - k\end{cases}$

Somando à primeira equação a segunda multiplicada por $-1$, teremos:

$x - y = 3\ \therefore\ \fbox{$x - y - 3 = 0$}$

Uma reta.

Calculadora: escalonar matriz.

Entre com uma string separada por barra vertical "|": primeiro: a matriz de números reais dispostos em linhas e colunas, o separador de linhas é o ponto e vírgula ";" e o separador dos elementos de uma linha é a vírgula ","; segundo: "e" para matriz escalonada ou "r" para matriz escalonada reduzida por linhas:

Exemplo:

Input: "2, 3, 19; 4, 5, 33 | r".

Output:

"
Dividindo a linha 1 por 2:

1 3/2 19/2
4 5 33
_____

Somando à linha 2 a linha 1 multiplicada por -4:

1 3/2 19/2
0 -1 -5
_____

Dividindo a linha 2 por -1:

1 3/2 19/2
0 1 5
_____

Somando à linha 1 a linha 2 multiplicada por -3/2:

1 0 2
0 1 5
"




Matriz escalonada:

Calculadora: conversão entre unidades de medida.

Entre com o valor (número real), a unidade de medida em que está expresso, e a unidade à qual deseja converter, separados por vírgula ",":

Exemplos:

Input: "120, C, F". Output: "248".
Input: "265.2, m, cm". Output: "26520".




Conversão:

Calculadora: mediana estatística.

Entre com os números reais separados por vírgula "," a terem a mediana estatística encontrada:




Mediana estatística:

Calculadora: rol, ou organizar em ordem crescente ou decrescente.

Entre com os números reais a serem organizados separados por vírgula ",", e, depois de um ponto e vírgula ";", o caractere "c" para ordem crescente, ou "d" para ordem decrescente:

Exemplos:

Input: "9, 7.5, 10, 2; c". Output: "2, 7.5, 9, 10".
Input: "9, 7.5, 10, 2; d". Output: "10, 9, 7.5, 2".




Rol:

Exercício: excentricidade de uma hipérbole.

Determine a excentricidade da hipérbole de equação $9x^2 - 4y^2 - 18x + 16y + 29 = 0$.

Resolução:

Primeiramente vamos reorganizar as variáveis de modo que os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ sejam $1$:

$9(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 4y) + 29 = 0$

Agora vamos completar os quadrados:

$9(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 - 4y + 4) + 29 = 9 \cdot 1 - 4 \cdot 4$

$9(x - 1)^2 - 4(y - 2)^2 = - 36$

Temos então a forma reduzida da hipérbole:

$\dfrac{(y - 2)^2}{9} - \dfrac{(x - 1)^2}{4} = 1$

Logo a hipérbole tem centro $(1, 2)$, eixo real paralelo ao eixo das ordenadas, semi-eixo real $a = 3$ e semi-eixo imaginário $b = 2$.

Vamos encontrar a semi-distância focal $c$:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$

Logo sua excentricidade será $e = \dfrac{c}{a} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{13}}{3}$}$

Calculadora: sistemas de numeração: conversão de números.

Entre com o número a ser convertido, a base em que está escrito, e a base à qual deseja converter:

Exemplos:

Input: "9, 10, 2". Output: "1001".
Input: "1f, 16, 10". Output: "31".
Input: "1g8h, 25, 53". Output: "9av".




Conversão:

Exercício: equação e gráfico de uma elipse dadas suas equações paramétricas.

Um gráfico cartesiano tem as seguintes equações paramétricas:

$\begin{cases}x = 2\cos t\\ y = 3\sin t\end{cases}$, em que $t \in \mathbb{R}$.

a) Obtenha uma equação desse gráfico, relacionando apenas as variáveis $x$ e $y$.

b) Esboce o gráfico.

Resolução:

a) $\begin{cases}x = 2\cos t\\ y = 3\sin t\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}3x = 6\cos t\\ 2y = 6\sin t\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}9x^2 = 36\cos^2 t\\ 4y^2 = 36\sin^2 t\end{cases}$

Somando as duas equações:

$9x^2 + 4y^2 = 36(\sin^2 t + \cos^2 t)\ \Rightarrow\ 9x^2 + 4y^2 = 36\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \dfrac{9x^2}{36} + \dfrac{4y^2}{36} = 1\ \therefore\ \fbox{$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$}$

b) Trata-se portanto de uma elipse de centro $(0, 0)$, eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas, semi-eixo maior $a = 3$ e semi-eixo menor $b = 2$:

Exercício: equação de uma reta que contém uma corda de uma circunferência.

Sabendo que o ponto $(2, 1)$ é ponto médio de uma corda $\overline{AB}$ da circunferência $(x - 1)^2 + y^2 = 4$, então qual a equação da reta que contém $\overline{AB}$?

Resolução:

Chamemos de $r$ a reta procurada. Ela será perpendicular à reta que contém o centro da circunferência $(1, 0)$ e o ponto $(2, 1)$, esta reta que chamaremos de $s$.

Seja $m_s$ o coeficiente angular da reta $s$, e $m_r$ o coeficiente angular da reta $r$:

$m_r = -\dfrac{1}{m_s}$ (I)

$m_s = \dfrac{1 - 0}{2 - 1} = 1$ (II)

Substituindo (II) em (I):

$m_r = -\dfrac{1}{1} = -1$

Observemos também que a reta $r$ passa por $(2, 1)$, logo:

$r:\ y - 1 = -(x - 2)\ \therefore\ \fbox{$r:\ x + y - 3 = 0$}$

Exercício: equação de uma reta tangente a uma circunferência em um ponto dado.

Determine a equação da reta tangente à circunferência $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ no ponto $(0, -1)$.

Resolução:

Observemos inicialmente que $(0, -1)$ realmente pertence à circunferência:

$(0 - 1)^2 + (-1 + 2)^2 = 1 + 1= 2$

A reta tangente no ponto dado será perpendicular à reta que tem o centro da circunferência $(1, -2)$ e o ponto dado, esta reta cujo coeficiente angular é $m = \dfrac{-1 + 2}{0 - 1} = -1$, logo a reta, que chamaremos de $r$ terá como coeficiente angular o oposto do simétrico de $-1$ que é $1$, logo, sabendo que $r$ passa por $(0, -1)$:

$r:\ (y + 1) = x - 0\ \therefore \fbox{$r:\ x - y - 1 = 0$}$

Exercício: determinar coeficiente de uma reta para que seja tangente a uma circunferência dada.

Quais os valores de $m$ para que a reta $y = mx + 1$ seja tangente à circunferência $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$?

Resolução:

Chamemos de $r$ a reta considerada, sua forma normal é $r:\ mx - y + 1 = 0$.

A distância de $r$ ao centro da circunferência, $C(2, 2)$, deve ser igual ao raio, ou seja $d_{rC} = 1$.

$\dfrac{|2m - 2 + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$ (I)

$|2m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}\ \Rightarrow\ (2m - 1)^2 = m^2 + 1\ \Rightarrow\ 4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1\ \Rightarrow\ 3m^2 - 4m = 0\ \Rightarrow\ m = 0\ \vee\ m = \dfrac{4}{3}$

Como houve uma quadração, deve-se fazer uma verificação para cada valor encontrado na sentença original (I):

$\dfrac{|2 \cdot 0 - 2 + 1|}{\sqrt{0^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|-1|}{1} = 1$, $0$ satisfaz.

$\dfrac{|2\ \cdot \dfrac{4}{3} - 2 + 1|}{\sqrt{(\dfrac{4}{3})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{8}{3} - 1|}{\dfrac{16}{9} + 1} = \dfrac{|\dfrac{5}{3}|}{\sqrt{25}{9}} = \dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}} = 1$, $\dfrac{4}{3}$ satisfaz.

$\fbox{$m \in \{0, \dfrac{4}{3}\}$}$

Calculadora: desvio padrão.

Entre com os números a terem o desvio padrão calculado, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "5, 2.5".
Output: "1.25".




Desvio padrão:

Calculadora: variância estatística.

Entre com os números a terem a variância estatística calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "5, 2.5".
Output: "1.5625".




Variância estatística:

Calculadora: desvio absoluto médio.

Entre com os números a terem o desvio absoluto médio calculado, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "3.5, 6".
Output: "1.25".




Desvio absoluto médio:

Calculadora: encontrar moda estatística.

Entre com os números a terem a(s) moda(s) encontrada(s), separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "-1, 0, 3, -1, 4.5".
Output: "-1".




Moda(s):

Calculadora: encontrar fração irredutível.

Entre com a fração a reduzir, numerador e denominador números naturais, o denominador não nulo, separados por barra "/".:

Exemplo:

Input: "234 / 52".
Output: "9 / 2".




Fração irredutível:

Calculadora: média aritmética ponderada.

Entre com os pares peso e número a terem a média geométrica calculada, separados por ponto e vírgula ";". Um número é separado do seu peso por vírgula ",", o primeiro elemento do par não nulo. O separador de casas decimais é o ponto ".":

Exemplo: entrando com "5, 3; 10, 1.5", a saída será: "2".




Média aritmética ponderada:

Calculadora: média harmônica.

Entre com os números a terem a média harmônica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, 8.5".
Output: "136 / 25".




Média harmônica:

Calculadora: média geométrica.

Entre com os números a terem a média geométrica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "1.5, 2, 9".
Output: "3".




Média geométrica:

Calculadora: calcular mdc.

Entre com os números naturais positivos, separados por vírgula ",", a ser calculado o mdc:

Exemplo:

Input: "48, 128, 72".
Output: "8".




mdc:

Calculadora: calcular mmc.

Entre com os números naturais positivos, separados por vírgula ",", a ser calculado o mmc:

Exemplo:

Input: "24, 9, 13".
Output: "936".




mmc: