$S = \{u_i\}$ é linearmente dependente se, e somente se, um vetor é combinação linear dos demais.

Se $S$ é LD, existe um escalar $a_j \neq 0$ tal que $a_1 u_1 +\ \dots\ + a_j u_j +\ \dots\ a_n u_n = 0$, logo

$u_j = -a_j^{-1}a_1 u_1 -\ \dots\ - a_j^{-1}a_{j-1} u_{j-1} - a_j^{-1}a_{j+1} u_{j+1} -\ \dots\ - a_j^{-1} a_n u_n$

Ou seja, $u_j$ é combinação linear dos demais.

Vamos supor agora que $u_j = a_1 u_1 +\ \dots\ + a_{j-1} u_{j-1} + a_{j+1} u_{j+1} +\ \dots\ + a_n u_n$, donde

$a_1 u_1 +\ \dots\ - u_j\ +\ \dots\ a_n u_n = 0$

Ou seja, $S$ é LD.

Quod Erat Demonstrandum.