Seja o sistema homogêneo
$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0\end{cases}$
Observemos que $O$ é solução.
Observemos que, se $a_{i1}x_i + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n = 0$, então $a_{i1}kx_i + a_{i2}kx_2 + \cdots + a_{in}kx_n = k\cdot 0 = 0$.
Observemos também que, se $a_{i1}x_i + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n = 0$ e $a_{j1}x_i + a_{j2}x_2 + \cdots + a_{jn}x_n = 0$,
então $(a_{i1} + a_{j1})x_i + (a_{i2} + a_{j2})x_2 + \cdots + (a_{in} + a_{jn})x_n = 0$.
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