Exercício: encontrar raízes de uma equação polinomial dadas algumas.

Sabe-se que a equação $x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10 = 0$ admite as raízes complexas $1 - i$ e $2 + i$. Quais as demais raízes dessa equação?

Resolução:

Seja $P(x) \equiv x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10$.

Dividindo $P(x)$ por $x - (1 - i)$, e, em seguida, por $x - (2 + i)$, utilizando Briot-Ruffini:

$\begin{array}{c|c c c c c}1 - i & 1 & -6 & 15 & -18 & 10\\ 2 + i& 1 & -5 - i & 9 + 4i & -5 - 5i & 0\\ & 1 & -3 & 3 + i & 0 &\end{array}$

Logo as raízes procuradas serão as raízes de $x^2 - 3x + (3 + i)$.

$\Delta = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$

Para extrair as raízes quadradas de $-3 - 4i$ vamos o por em sua forma trigonométrica:

$5(\cos \arccos -\dfrac{3}{5} + i \cdot \sin \arcsin -\dfrac{4}{5})$

Seja $\theta$ o argumento de uma das raízes quadradas, a de menor argumento, (observemos que, se $2\theta$ pertence ao terceiro quadrante (seno negativo e cosseno negativo), $\theta$ será um arco do segundo quadrante):

$-\dfrac{3}{5} = 2\cos^2 \theta - 1\ \Rightarrow\ \cos \theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = \sqrt{1 - (-\dfrac{\sqrt{5}}{5})^2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Chamando de $R_1$ e $R_2$ as raízes quadradas de $-3 - 4i$, teremos:

$R_1 = \sqrt{5}(-\dfrac{\sqrt{5}}{5} + i \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}) = -1 + 2i$

$R_2 = 1 - 2i$

Continuando a resolução de $x^2 - 3x + (3 + i) = 0$:

$x' = \dfrac{3 - 1 + 2i}{2} = 1 + i$

$x'' = \dfrac{3 + 1 - 2i}{2} = 2 - i$

Logo as raízes procuradas são $\fbox{$1 + i$}$ e $\fbox{$2 - i$}$.