Determine a excentricidade da hipérbole de equação $9x^2 - 4y^2 - 18x + 16y + 29 = 0$.
Resolução:
Primeiramente vamos reorganizar as variáveis de modo que os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ sejam $1$:
$9(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 4y) + 29 = 0$
Agora vamos completar os quadrados:
$9(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 - 4y + 4) + 29 = 9 \cdot 1 - 4 \cdot 4$
$9(x - 1)^2 - 4(y - 2)^2 = - 36$
Temos então a forma reduzida da hipérbole:
$\dfrac{(y - 2)^2}{9} - \dfrac{(x - 1)^2}{4} = 1$
Logo a hipérbole tem centro $(1, 2)$, eixo real paralelo ao eixo das ordenadas, semi-eixo real $a = 3$ e semi-eixo imaginário $b = 2$.
Vamos encontrar a semi-distância focal $c$:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$
Logo sua excentricidade será $e = \dfrac{c}{a} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{13}}{3}$}$
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