Sejam $A$ e $B$ matrizes para as quais $AB$ está definido, mostrar que o espaço das colunas de $AB$ está contido no espaço das colunas de $A$.

Seja $R = (b_j)$ um vetor coluna tal que $AR$ está definido; sejam $A_i = (a_{ij})$ as linhas de $A$:

$AR = (A_1 R,\ \dots\ , A_n R) =$

$= (a_{11}b_1 +\ \dots\ + a_{1m}b_m,\ \dots\ , a_{n1}b_1 + \dots + a_{nm}b_m) =$

$= b_1 (a_{11},\ \dots\ , a_{n1}) +\ \dots\ + b_m (a_{1m},\ \dots\ , a_{nm})$

Assim, se $A$ é uma matriz qualquer para a qual $AB$ está definido, toda coluna de $AB$ estará no espaço das colunas de $A$, assim o espaço das colunas de $AB$ está contido no espaço das colunas de $A$.

Quod Erat Demonstrandum.