Seja $V$ o espaço vetorial de todas as funções de um corpo $K$ em um corpo $K$; seja $U$ o subespaço das funções pares e $W$ o subespaço das funções ímpares. Mostrar que $V = U \oplus W$.

Sejam $f$ uma função par e $g$ uma função ímpar. Seja uma função $h$ tal que $h(x) = f(x) + g(x)$ (I).

$h(-x) = f(x) - g(x)$ (II)

Somando (I) e (II) obtemos $f(x) = \dfrac{h(x) + h(-x)}{2}$

Subtraindo (II) de (I) obtemos $g(x) = \dfrac{h(x) - h(-x)}{2}$

Como $h(x) = \underset{\text{Função par.}}{\underbrace{\dfrac{h(x) + h(-x)}{2}}} + \underset{\text{Função ímpar.}}{\underbrace{\dfrac{h(x) - h(-x)}{2}}}$,

$V = U + W$ (III)

Como a única função que é simultaneamente par e ímpar é a função nula $O$,

$U \cap W = \{O\}$ (IV)

Por (III) e (IV), obtemos o desejado.