Um conjunto $W$ é subespaço de $V$ se e somente se $W$ é não vazio, é fechado com relação à soma, e é fechado com relação à multiplicação por escalar. (I)
Mostrar que, para que $W$ seja subespaço de $V$, basta mostrar que $O \in W$ e $kw + k'w' \in W$, $k$ e $k'$ escalares. (II)
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Sejam $w, w', w'', w''' \in W$ e $k$ e $k'$ escalares.
Mostremos que (I) $\Rightarrow$ (II).
Se $W$ é não vazio e é fechado com relação à soma e à multiplicação por escalar:
$-w \in W$, $w - w = O \in W$
$w + w' \in W\ \Rightarrow\ kw'' + kw''' \in W$
Mostremos agora que (II) $\Rightarrow$ (I).
$O \in W\ \Rightarrow\ W \neq \varnothing$
$kw + k'w' \in W$.
Tomemos $k = k' = 1$: $w + w' \in W$.
Tomemos $k' = 0$: $kw \in W$.
Quod Erat Demonstrandum.
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