Exercício: lugar geométrico simétrico de uma reta com relação a um ponto.

Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais $xOy$, considere a reta $r$ de equação $y = x + 1$ e o ponto $P(2, 1)$. Qual o lugar geométrico dos pontos do plano, simétricos dos pontos de $r$ em relação a $P$?

Resolução:

$P$ será o ponto médio dos pontos de $r$ e dos pontos do lugar geométrico procurado.

Chamemos de $G(k, k + 1)$ um ponto genérico de $r$ e $Q(x, y)$ um ponto também genérico do lugar geométrico.

$\dfrac{x + k}{2} = 2\ \Rightarrow\ x = 4 - k$

$\dfrac{y + (k + 1)}{2} = 1\ \Rightarrow\ y = 1 - k$

Temos então as equações paramétricas do lugar geométrico procurado:

$\begin{cases}x = 4 - k\\ y = 1 - k\end{cases}$

Somando à primeira equação a segunda multiplicada por $-1$, teremos:

$x - y = 3\ \therefore\ \fbox{$x - y - 3 = 0$}$

Uma reta.