Calculadora: coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do ponto; segundo: a ordenada do ponto.




Ponto em coordenadas cartesianas:

O ponto aparecerá aqui...

Calculadora: coordenadas cartesianas para coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do ponto; segundo: a ordenada do ponto.




Ponto em coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré:

O ponto aparecerá aqui...

Calculadora: coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do ponto; segundo: a ordenada do ponto.




Ponto em coordenadas cartesianas:

O ponto aparecerá aqui...

Calculadora: coordenadas cartesianas para coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do ponto; segundo: a ordenada do ponto.




Ponto em coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré:

O ponto aparecerá aqui...

Coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré.

Observemos que a função $y = \arctan x$ "condensa" todos os reais no intervalo $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, ou seja, reduz o "tamanho" mantendo uma bijeção.

Chamam-se coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré o par $(x_{cc}, y_{cc})$ tal que $(x_{cc}, y_{cc}) = (0, 0)$ se e somente se $x = 0$ e $y = 0$ ou

$\begin{cases}x_{cc} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{2\arctan \sqrt{x^2 + y^2}}{\pi}\\ y_{cc} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{2\arctan \sqrt{x^2 + y^2}}{\pi}\end{cases}$.

Seguindo o caminho inverso:

$\begin{cases}x = \dfrac{x_{cc}}{\sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}} \cdot \tan \dfrac{\pi \sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}}{2}\\ y = \dfrac{y_{cc}}{\sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}} \cdot \tan \dfrac{\pi \sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}}{2}\end{cases}$.

 

Coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré.

Observemos que a função $y = \arctan x$ "condensa" todos os reais no intervalo $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, ou seja, reduz o "tamanho" mantendo uma bijeção.

Chamam-se coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré o par $(x_c, y_c)$ tal que

$\begin{cases}x_c = \dfrac{2\arctan x}{\pi}\\ y_c = \dfrac{2\arctan y}{\pi}\end{cases}$.

Seguindo o caminho inverso:

 

$\begin{cases}x = \tan \dfrac{\pi x_c}{2}\\ y = \tan \dfrac{\pi y_c}{2}\end{cases}$.

Um gráfico curioso. $\rho = \dfrac{1}{\theta} + 1$.

Observemos o gráfico, em coordenadas polares, de $\rho = \dfrac{1}{\theta} + 1$.

 

$\displaystyle\lim_{\theta \rightarrow +\infty} \rho = 1$

O gráfico irá sempre se aproximar da circunferência unitária, no entanto nunca a "tocará".

 

 

Taxa de variação da área de um triângulo dada a taxa de variação de um dos lados.

Seja a fórmula de Herão $A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ para o cálculo da área; seja, sem perda de generalidade o lado de medida $a$ que varia a uma velocidade $v$, ou seja, $a = vt + a_0$.

$p = \dfrac{vt + a_0 + b + c}{2}$

${\tiny \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{[v(-vt - a_0 + b + c) - v(vt + a_0 + b + c)](vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c) + (vt + a_0 + b + c)(- vt - a_0 + b + c)[v(vt + a_0 - b + c) + v(vt + a_0 + b - c)]}{8\sqrt{(vt + a_0 + b + c)(-vt - a_0 + b + c)(vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c)}}}$,

com $b + c > vt + a_0$ e $vt + a_0 > |b - c|$.

 

Calculadora: ponto reflexo de Antonio Vandré.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a função diferenciável a ser considerada, deve ser uma função em "x"; segundo: a abscissa do ponto a se encontrar a imagem; terceiro: a ordenada do ponto a se encontrar a imagem; quarto: o ponto de referência no domínio da função.




Ponto reflexo de Antonio Vandré (aproximado):

O ponto aparecerá aqui...

Meme: depois que você aprende Cálculo.

 

Ponto reflexo de Antonio Vandré.

Seja uma função diferenciável $f(x)$ em um intervalo, o ponto reflexo de Antonio Vandré é o ponto imagem de um ponto $P = (x_P, y_P)$, $P'$, resultante da reflexão de $P$ na curva $y = f(x)$ em um ponto $x_r$ no intervalo.

$P'$ será o simétrico de $P$ com relação à reta perpendicular a $y = f(x)$ em $x_r$, ou seja:

 

${\small P' = \left(2 \cdot \dfrac{f'(x_r)[f(x_r) - y_P] + x_r + [f'(x_r)]^2 x_P}{[f'(x_r)]^2 + 1} - x_P, 2 \cdot \dfrac{y_P + f'(x_r)x_r - f'(x_r)x_P + f(x_r)[f'(x_r)]^2}{[f'(x_r)]^2 + 1} - y_P\right)}$.

 

Coordenadas elípticas de Antonio Vandré.

Seja a elipse $\dfrac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$ e um ponto $(x_P, y_P)$ do plano cartesiano.

Chamam-se coordenadas elipticas de Antonio Vandré o par $(\theta_e, \rho_e)$ em que $\theta_e$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa), do ponto $(a, 0)$ ao ponto $(x_e, y_e)$ pertencente à elipse, intersecção da reta que passa por $(0, 0)$ e $(x_P, y_P)$, ao longo da elipse, ou seja,

${\tiny \theta_e\ =\ \displaystyle\int_0^{\theta_P} \sqrt{\left\{\dfrac{a(\cos u)[2a^2(\cos u)(\sin u) - 2(\cos u)(\sin u)]}{2\sqrt{(a^2 \sin^2 u + \cos^2 u)^3}} + \dfrac{a\sin u}{\sqrt{a^2\sin^2 u + \cos^2 u}}\right\}^2 + \left\{\dfrac{2\cos u}{\sqrt{a^2\sin^2 u + \cos^2 u}} - \dfrac{a(\sin u)[2a^2(\cos u)(\sin u) - 2(\cos u)(\sin u)]}{2\sqrt{(a^2 \sin^2 u + \cos^2 u)^3}}\right\}^2}\ du}$,

com $\sin \theta_P = \dfrac{y_P}{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}$ e $\cos \theta_P = \dfrac{x_P}{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}$, e $\rho_e = \sqrt{x_P^2 + y_P^2}$.

 

Coordenadas hiperbólicas de Antonio Vandré.

Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, $|x| \ge 1$, tais que $y = b\sqrt{x^2 - 1},\ b \neq 0$.

Chamam-se coordenadas hipérbolicas de Antonio Vandré o par $(b, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $x < -1$), do ponto $(x, y)$ ao ponto $\left(\dfrac{x}{|x|}, 0\right)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_{x/|x|}^x \sqrt{1 + \dfrac{b^2 u^2}{u^2 - 1}}\ du$.

 

Sejam $p$ e $q$ reais positivos, mostre a média harmônica é menor ou igual à média geométrica.

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{p}} + \dfrac{1}{\sqrt{q}}\right)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} \ge \dfrac{2}{\sqrt{pq}}\ \Rightarrow\ \underset{MH}{\underbrace{\dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}}} \le \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$

Quod Erat Demonstrandum.

Coordenadas logarítmicas de Antonio Vandré.

Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, do primeiro ou quarto quadrantes ou o ponto $(1, 0)$, tais que $y = \log_a x,\ a > 0\ \wedge\ a \neq 1$.

Chamam-se coordenadas logarítmicas de Antonio Vandré o par $(a, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $x < 1$), do ponto $(x, y)$ ao ponto $(1, 0)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_1^x \sqrt{1 + \dfrac{1}{u^2 \log^2 a}}\ du$.

 

Coordenadas exponenciais de Antonio Vandré.

Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, do primeiro ou segundo quadrantes ou o ponto $(0, 1)$, tais que $y = a^x,\ a > 0\ \wedge\ a \neq 1$.

Chamam-se coordenadas exponenciais de Antonio Vandré o par $(a, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $(x, y)$ esteja no segundo quadrante), do ponto $(x, y)$ ao ponto $(0, 1)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + a^{2u} \log^2 a}\ du$.

Calculadora: coordenadas cartesianas para coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré.

Entre com as coordenadas cartesianas, separadas por ponto e vírgula ";".




Coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré:

Calculadora: Coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com as coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré, separadas por ponto e vírgula ";".




Coordenadas cartesianas:

Coordenadas de distância de Antonio Vandré.

No plano cartesiano, as coordenadas de distância de Antonio Vandré para os pontos $P$, $Q$ e $R$ é o conjunto ordenado das distâncias deles ao ponto $(x, y)$.

Chamam-se as coordenadas canônicas de distância de Antonio Vandré as coordenadas de distância de Antonio Vandré quando $P \equiv (0, 0)$, $Q \equiv (1,0)$ e $R \equiv (0, 1)$.

Coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré.

No semiplano $y \ge 0$, coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré $(d_0, d_1)$ são definidas como as distâncias de um ponto $(x, y)$ aos pontos $(0, 0)$ e $(1, 0)$ respectivamente.

 

$\begin{cases}d_0 = \sqrt{x^2 + y^2}\\ d_1 = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}\end{cases}$

$\begin{cases}x = \dfrac{d_0^2 - d_1^2 + 1}{2}\\ y = \dfrac{\sqrt{-d_0^4 + (2d_1^2 + 2)d_0^2 - d_1^4 + 2d_1^2 - 1}}{2}\end{cases},\ -d_0^4 + (2d_1^2 + 2)d_0^2 - d_1^4 + 2d_1^2 - 1 \ge 0$

Exercício: área restante de um retângulo após dobras.

Uma folha de papel retangular $ABCD$, de $10\ cm$ por $20\ cm$, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas dobras nessa folha, levando-se os pontos $A$ e $C$ sobre a diagonal $BD$, de modo que as dobras ficaram paralelas a essa diagonal, como mostrado na figura abaixo.

 

Qual é a área da região colorida que fica visível após as dobras?

Sejam $E$ o ponto de $\overline{AD}$ e $F$ o ponto de $\overline{AB}$ onde se encontram as dobras. Notemos que $E$ é ponto médio de $\overline{AD}$ e que $F$ é ponto médio de $\overline{AB}$.

$\left(\Delta ABD \sim \Delta AFE\right)\ \wedge \left(\text{A razão de semelhança é}\ \dfrac{1}{2}\right)\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \text{Área de}\ \Delta AFE\ =\ \dfrac{100}{4} = 25\ cm^2$

A área colorida após as dobras terá medida $(100 - 25 \cdot 2) \cdot 2 = \fbox{$100\ cm^2$}$.

Meme: software sobre a própria criação matemática.

 

Calculadora: Coordenadas angulares de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com as coordenadas angulares de Antonio Vandré, separadas por ponto e vírgula ";".




Coordenadas cartesianas:

Calculadora: Coordenadas cartesianas para coordenadas angulares de Antonio Vandré.

Entre com o ponto, abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";".




Coordenadas angulares de Antonio Vandré:

Sejam $z, w \in \mathbb{C}$, mostre que $|zw| = |z||w|$.

Sejam $z = a + bi$ e $w = c + di$.

$|zw|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 - \cancel{2abcd} + a^2d^2 + b^2c^2 + \cancel{2abcd} =$

 

$= a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (|z||w|)^2$

Como o módulo de um número complexo é um real não negativo, $|zw| = |z||w|$.

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: suficiente de partidas para encerrar um jogo.

Em cada partida de um jogo disputado por dois jogadores, há sempre um vencedor, ou seja, não há empates. Cada jogador começa o jogo com $100$ pontos. Quem vence uma partida soma $5$ a seus pontos, e quem perde uma partida subtrai $2$ de seus pontos. O jogo termina quando a soma dos pontos dos dois jogadores passar de $300$. Após o encerramento do jogo, quantas partidas foram realizadas?

 

A cada partida disputada, a soma dos pontos é acrescida de $5 - 2 = 3$ pontos. Como inicialmente a soma é $200$, calculemos após quantas partidas teremos um saldo de $100$ pontos.

$100 = 33 \cdot 3 + 1$

Ou seja, após o encerramento do jogo, $34$ partidas foram realizadas.

Exercício: reajuste da media com a correção de uma nota.

A professora Brenda aplicou uma prova para $25$ estudantes e cometeu um erro ao escrever a nota da aluna Aline, registrando $3,6$ ao invés de $8,6$. Com esse erro, a média das notas foi $7,2$. Qual passou a ser a média das notas depois de corrigido esse erro?

Seja $S$ a soma das notas com o erro.

$S = 25 \cdot 7,2 = 180$

A nova média será calculada $\dfrac{S + 5}{25} = \dfrac{185}{25} = \fbox{$7,4$}$.

Exercício: número de alunos de um professor de educação física.

Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos e uma menina ou por duas meninas e um menino. Ele observou que poderia fazer essa escolha de $25$ maneiras diferentes. Quantos meninos e meninas são alunos desse professor?

Sejam $m$ o número de meninos e $n$ o número de meninas.

$\displaystyle{m \choose 2} \cdot n + \displaystyle{n \choose 2} \cdot m = 25\ \Rightarrow\ mn(m + n - 2) = 50$

Os divisores positivos de $50$ são $1$, $2$, $5$, $10$ e $25$. Como $50$ é par, um dos fatores é $2$, não pode ser $(m + n - 2)$ pois implicaria $m + n = 4$ cujas combinações não totalizariam $50$, logo, vamos supor que $m = 2$ o que implica $n = 5$.

Logo o total de alunos é $\fbox{$7$}$.

Exercício: aumento percentual do preço do grama de chocolate.

Um fabricante diminuiu a quantidade de chocolate em uma caixa de $250\ g$ para $200\ g$, mantendo o preço da caixa. Qual foi o aumento percentual do preço do grama do chocolate?

 

Sejam $P$ o preço da caixa, $p_1$ o preço inicial do grama de chocolate, e $p_2$ o preço final do grama de chocolate.

$p_1 = \dfrac{P}{250}$

$p_2 = \dfrac{P}{200}$

$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{250}{200} = 1,25$

Logo o aumento foi de $25\ \%$.

Maior parcela inteira de certa soma.

Morgana escolheu seis números inteiros positivos e diferentes entre si, cuja soma é $2020$. Qual é o maior número que pode aparecer dentre os números escolhidos?

 

Se se deseja conhecer o maior deles, os outros devem ser os menores possíveis, a saber $1$, $2$, $3$, $4$, e $5$, cuja soma é $15$. Logo tal número é $2020 - 15 = \fbox{$2005$}$.

Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a $2026$?

Como este inteiro deve ter o mínimo de algarismos, deve ter o máximo possível de $9$'s. $2026 = 225 \cdot 9 + 1$. Este $1$, como é menor que $9$, deve figurar na casa de maior valor, no entanto, como tal número é par e devemos somar a este $1$ o menor valor possível, tal número terminará em $8$ e iniciará em $2$, preservando a propriedade de que a soma de seus algarismos seja $2026$.

Tal número será da forma $2999\dots 9998$.

Média aritmética maior que a média geométrica de dois reais não negativos.

Sejam $p$ e $q$ dois reais não negativos, mostre que sua média aritmética é maior que sua média geométrica.

 

$(p - q)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ p^2 + q^2 \ge 2pq\ \Rightarrow\ p^2 + 2pq + q^2 \ge 4pq\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \dfrac{(p + q)^2}{4} \ge pq\ \overset{p, q \ge 0}{\Rightarrow}\ \underset{MA}{\underbrace{\dfrac{q + q}{2}}}\ \ge\ \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$

Quod Erat Demonstrandum.