Exercício: número de lados e diagonais de um polígono.

O número de diagonais de um polígono convexo de $x$ lados é dado por $d = \dfrac{x^2 - 3x}{2}$. Se o polígono possui $9$ diagonais, qual o número de lados?

Resolução:

$x^2 - 3x - 18 = 0\ \therefore\ x = 6$

Exercício: perímetro de um triângulo retângulo.

No triângulo retângulo $ABC$, abaixo, tem-se que: $M$ é ponto médio de $\overline{BC}$, $m(M\hat{A}C) = 30^o$ e $AB = 3\ cm$. Calcule o perímetro do triângulo $ABM$.

Resolução:

$\overline{AB} = \overline{BM}\ \wedge\ m(M\hat{A}B) = 60^o\ \Rightarrow\ \Delta ABM$ equilátero $\Rightarrow\ 2p = 9\ cm$.

Exercício: mediana em um triângulo retângulo.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede $26\ cm$ e a mediana relativa à hipotenusa tem $21\ cm$ a menos que a soma das medidas dos catetos. Calcule o perímetro desse triângulo.

Resolução:

$13 = b + c - 21$

$a + b + c = 26 + 34 = 60$

Exercício: afixo de um número complexo.

Seja $L$ o afixo do número complexo $a = \sqrt{8} + i$ em um sistema de coordenadas cartesianas $xOy$. Determine o número complexo $b$, de módulo igual a $1$, cujo afixo $M$ pertence ao quarto quadrante e é tal que $L\hat{O}M$ é reto.



Resolução:

$a = 3(\cos \arccos \dfrac{\sqrt{8}}{3} + i \cdot \sin \arcsin \dfrac{1}{3})$

$b = \dfrac{1}{3} - i \cdot \dfrac{\sqrt{8}}{3}$

Exercício: velocidade angular e linear.

Uma partícula está em movimento circular, de raio igual a $10\ cm$, com a velocidade angular de $0,20\ rad/s$. Determine a velocidade linear, em $km/h$.

$v = 0,10\ \cdot\ 0,20\ \cdot\ 3,6\ =\ 7,2\ \cdot\ 10^{-2}\ km/h$

Exercício: ponto de maior ordenada.

Se $P(x, y)$ é o ponto de maior ordenada do plano tal que $x^2 + y^2 = x$, Quanto vale $x + y$?

$y$ máximo implica $y^2$ máximo, que implica $x - x^2$ máximo.

$y$ máximo implica $x = \dfrac{1}{2}$, que implica, assumindo o valor máximo, $y = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$

Exercício: período e frequência de um relógio.

Quais são o período e a frequência do ponteiro dos segundos de um relógio?

$T = 60\ s$, $f = \dfrac{1}{60}\ Hz$

Exercício: lugar geométrico.

Encontre uma equação do L.G. dos pontos equidistantes das retas $r: 3x - y + 2 = 0$ e $s: 3x + y - 1 = 0$.

Resolução:

$\dfrac{|3x - y + 2|}{\sqrt{10}} = \dfrac{|3x + y - 1|}{\sqrt{10}}$

$2y - 3 = 0\ \vee \ 6x + 1 =0$

Exercício: equação modular.

Resolva a equação $|x| = 5x - 1$.

Resolução:

$x \ge 0 \Rightarrow x = 5x - 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}$

$x < 0 \Rightarrow -x = 5x - 1 \Rightarrow \nexists x$

$S = \{\dfrac{1}{4}\}$

Exercício: ondulatória - harmônicos coincidentes.

Texto para as duas questões.

Uma pessoa cuja capacidade de audição vai de $20\ Hz$ a $20\ kHz$, ouve os sons produzidos simultaneamente por dois tubos sonoros: um aberto, de comprimento $42\ cm$, soprado com ar, e outro fechado, de comprimento $100\ cm$, soprado com hidrogênio. A pessoa verifica que algumas frequências podem ser produzidas simultaneamente pelos dois tubos. A velocidade do som no ar é $v_{ar}\ =\ 336\ m / s$ e a velocidade do som no hidrogênio é $v_H\ =\ 1280\ m / s$.

(FEI-SP) A menor frequência comum aos dois tubos que a pessoa ouve é:

a) $20\ Hz$
b) $400\ Hz$
c) $800\ Hz$
d) $1600\ Hz$
e) n.d.a.

(FEI-SP) O som mais agudo, produzido simultaneamente pelos dois tubos, que pode ser ouvido pela pessoa, tem frequência:

a) $1600\ Hz$
b) $3200\ Hz$
c) $17600\ Hz$
d) $19200\ Hz$
e) n.d.a.

Resolução:

Como ambos os tubos produzirão a mesma frequência, teremos a equação:

$n_1\ \cdot\ \dfrac{v_{ar}}{2 \ell_{ar}}\ =\ n_2\ \cdot\ \dfrac{v_H}{4 \ell_H}$     [1]

Onde $\ell_{ar}$ é o comprimento do tubo preenchido com ar, $\ell_H$ é o comprimento do tubo preenchido com hidrogênio, $n_1$ é a ordem do harmônico do primeiro tubo e $n_2$ é a ordem do harmônico do segundo tubo.

Substituindo os valores em [1]:

$n_1\ \cdot\ 400\ =\ n_2\ \cdot\ 320$     [2]

Cada membro da equação acima nos dá a frequência comum procurada. Para encontrá-la precisamos um inteiro qualquer $n_1$ e um inteiro ímpar $n_2$ que a satisfaça.

De [2] podemos concluir:

$n_1\ =\ 0,8\ \cdot\ n_2$     [3]

Assim temos que encontrar o menor ímpar $n_2$ que multiplicado por $0,8$ dê um inteiro. Tal número é $5$.

De [2], concluímos que a menor frequência procurada será:

$f_m\ =\ 5\ \cdot\ 320\ =\ 1600\ Hz$

Logo, para a primeira questão, a alternativa correta é a D.

...

Como a maior frequência audível é $20000\ Hz$, o $n_2$ deve ser tal que:

$n_2\ \le\ \dfrac{20000}{320}\ =\ 62,5$

Assim, por tentativas, devemos encontrar o máximo inteiro ímpar $n_2\ \le\ 61$ que, pela expressão [3], nos forceça um $n_1$ inteiro:

Para $n_2\ =\ 61$ teremos $n_1\ =\ 48,8$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 59$ teremos $n_1\ =\ 47,2$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 57$ teremos $n_1\ =\ 45,6$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 55$ teremos $n_1\ =\ 44$. Encontramos.

Assim, a máxima frequência comum será no quadragésimo-quarto harmônico do primeiro tubo:

$f_M\ =\ 44\ \cdot 400\ =\ 17600\ Hz$

Logo, para a segunda questão, a alternativa correta é a C.

Exercício: ondulatória - frequências em harmônicos.

(ITA-SP) Uma corda vibrante, de comprimento $\ell_1$, fixa nos extremos, tem como menor frequência de ressonância $100\ Hz$. A segunda frequência de ressonância de uma outra corda, do mesmo diâmetro e mesmo material, submetida à mesma tensão, mas de comprimento $\ell_2$ diferente de $\ell_1$, é também igual a $100\ Hz$. A relação $\ell_2 / \ell_1$ é igual a:

a) $2$
b) $\sqrt{3}$
c) $1/2$
d) $\sqrt{2}$
e) $4$

Resolução:

A expressão de Lagrange para harmônicos é:

$f_n\ =\ n\ \cdot\ \dfrac{1}{2\ell} \sqrt{\dfrac{F}{d\ \cdot\ A}}$

Para as duas cordas $F$, $d$, $A$ e $f_n$ serão constantes, logo o quociente $n / \ell$ será constante para ambas. Então teremos:

$\dfrac{1}{\ell_1}\ =\ \dfrac{2}{\ell_2}\ \Rightarrow\ \dfrac{\ell_2}{\ell_1}\ =\ 2$

Logo a alternativa correta é a A.

Exercício: ondulatória - emissão do som por dois meios distintos.

(UF-CE) Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade encontra-se um indivíduo que ouve dois sons, com uma diferença de tempo de $0,18\ s$. O primeiro se propaga através do trilho, com velocidade de $3400\ m/s$, e o segundo, através do ar, com velocidade de $340\ m/s$. Determine, em metros, o comprimento do trilho.

Resolução:

Como a constante da questão é o comprimento do trilho, chamando de $v_t$ a velocidade do som no trilho, $v_a$ a velocidade do som no ar, $t_t$ o tempo de percurso do som no trilho e $t_a$ o tempo de percurso do som no ar, teremos:

$v_t\ \cdot\ t_t\ =\ v_a\ \cdot\ t_a$     [1]

Mas:

$t_a\ =\ t_t\ +\ 0,18$     [2]

Substituindo [2] em [1], teremos:

$v_t\ \cdot\ t_t\ =\ v_a\ \cdot\ (t_t + 0,18)\ \Rightarrow\ t_t\ =\ \dfrac{v_a\ \cdot\ 0,18}{v_t - v_a}$

Substituindo, teremos:

$t_t\ =\ \dfrac{340\ \cdot\ 0,18}{3400 - 340}\ =\ \dfrac{340\ \cdot\ 0,18}{9\ \cdot\ 340}\ =\ 0,02\ s$

Chamando de $c$ o comprimento do trilho, teremos:

$c\ =\ v_t\ \cdot\ 0,02\ =\ 3400\ \cdot\ 0,02\ =\ 68\ m$

Exercício: ondulatória - Doppler.

A frequência ouvida por uma pessoa parada para o som emitido por uma fonte sonora em movimento é $1200\ Hz$, quando a fonte se aproxima, e $800\ Hz$, quando a fonte se afasta. Sendo $320\ m/s$ a velocidade do som no ar nas condições da questão, determine:

A) A velocidade da fonte sonora;
B) A frequência emitida pela fonte.

Resolução:

Chamando de $f$ a frequência da fonte, $f_p$ a frequência aparente de aproximação, $f_a$ a frequência aparente de afastamento, e $v_F$ a velocidade da fonte, as equações para os efeitos Doppler descritos no problema são:

$f_p\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - v_F}$     [1]

$f_a\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 + v_F}$     [2]

Dividindo [1] por [2], membro a membro, teremos:

$\dfrac{f_p}{f_a}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Substituindo os valores, teremos:

$\dfrac{1200}{800}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Resolvendo:

$v_F\ =\ 64\ m/s$

Substituindo $v_F$ em [1]:

$1200\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - 64}\ \Rightarrow\ f\ =\ 960\ Hz$

Exercício: ondulatória - determinando interferência.

Ondas produzidas pela fonte F refletem-se na superfície S, com inversão de fase e superpõem-se com as ondas diretas no ponto P, conforme a figura. Considerando que as ondas em questão tem comprimento de onda igual a $4,0\ m$, o ponto P é um mínimo ou um máximo de interferência?

Resolução:

Duas frentes de onda percorrerão dois caminhos distintos, interferindo-se no ponto P: uma ao longo do segmento $\overline{FP}$, e outra refletindo-se na superfície S.

O primeiro percorrerá $8\ m$, o segundo percorrerá $2\ \cdot\ \sqrt{3^2 + (\dfrac{8}{2})^2}\ =\ 10\ m$, de tal forma que a diferença será de $\Delta d\ =\ 2\ m$.

A metade do comprimento de onda é de $2\ m$, que é um múltiplo ímpar de $\Delta d$, e como a segunda frente de onda sofre inversão de fase, a interferência será construtiva.

Exercício: ondulatória - caminhante em um túnel.

(U Mackenzie-SP) Um túnel possui uma extremidade fechada e outra aberta. Na extremidade aberta existe uma fonte sonora que emite um som de $200\ Hz$. Uma pessoa que caminha no interior do túnel com velocidade constante ouve a cada $1,7\ s$ o som com intensidade mínima. Sendo a velocidade do som no ar de $340\ m \cdot s^{-1}$, a velocidade da pessoa é:

a) $200\ m \cdot s^{-1}$
b) $20\ m \cdot s^{-1}$
c) $1,7\ m \cdot s^{-1}$
d) $1\ m \cdot s^{-1}$
e) $0,5\ m \cdot s^{-1}$

Resolução:

Primeiramente devemos determinar o comprimento de onda da onda estacionária:

$\lambda\ =\ \dfrac{340}{200}\ =\ 1,7\ m$

Isso quer dizer que a distância entre dois nodos será de $\dfrac{1,7}{2}\ m$.

Como o caminhante percorreu uma distância nodal em $1,7\ s$, sua velocidade será:

$v\ =\ \dfrac{\dfrac{1,7}{2}}{1,7}\ =\ 0,5\ m \cdot s^{-1}$

Logo a alternativa correta é a E.

Exercício: expressão para interferência construtiva.

(FCM Santa Casa-SP) Duas fontes sonoras, $F_1 $ e $F_2 $, estão defasadas de $180^\circ $. Um ponto P dista $x_1 $ de $F_1 $ e $x_2 $ de $F_2 $.

Sendo $k$ um número inteiro e $\lambda $ o comprimento de onda dos sons emitidos por $F_1 $ e $F_2 $, a condição para que o ponto P sofra interferência construtiva é que a diferença de percurso $\Delta x\ =\ x_2 - x_1 $ seja dada pela expressão:

a) $k \lambda $
b) $(k - \dfrac{1}{2}) \lambda $
c) $2k \lambda $
d) $(2k - 1) \lambda $

Resolução:

Como as fontes estão defasadas em $\pi\ rad $, estão com fases invertidas, logo $\Delta x $ deve ser um múltiplo ímpar de $\dfrac{\lambda}{2} $ para que em P tenhamos um máximo de amplitude.

Mas todo número ímpar é da forma $2k - 1 $ com $k \in \mathbb{Z} $.

Assim, vamos ter:

$\Delta x\ =\ (2k - 1) \dfrac{\lambda}{2}\ =\ (k - \dfrac{1}{2}) \lambda $

Logo a alternativa correta é a B.

Altura e área de um triângulo equilátero.

$h = \dfrac{\ell \sqrt{3}}{2}$

$A = \dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$

Inversa de uma matriz 2x2.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

Exercício: razão entre os comprimentos de onda.

(FUVEST-SP) Considere uma onda de rádio de $2\ MHz$ de frequência, que se propaga em um meio material, homogêneo e isotrópico, com $80\%$ da velocidade com que se propagaria no vácuo. Qual a razão $\lambda_0 / \lambda$ entre os comprimentos de onda no vácuo ($\lambda_0$) e no meio material ($\lambda$)?


Resolução:

A razão $\dfrac{\lambda_0}{\lambda}$, por a onda manter a mesma frequência, tem o mesmo valor da razão entre as velocidades $\dfrac{v_0}{v}$ entre a velocidade no vácuo e a velocidade no meio.

Como sabemos que $v\ =\ 80\%\ \cdot\ v_0$, teremos:

$\dfrac{\lambda_0}{\lambda}\ =\ \dfrac{v_0}{80\%\ \cdot\ v_0}\ =\ 1,25$

Exercício: determinando intensidade luminosa recebida por uma lâmpada.

(ITA-SP) Uma lâmpada de filamento, ligada a uma fonte de tensão contínua de $100$ volts, tem uma resistência de $50$ ohms. Supondo que $2\%$ da potência elétrica dissipada se converta em radiação visível, qual será a intensidade luminosa a $10\ m$ da lâmpada?

Resolução:

De Eletricidade, sabemos que:

$P\ =\ \dfrac{U^2}{R}$

Donde a potência total gasta pela lâmpada será:

$P\ =\ \dfrac{100^2}{50}\ =\ 200\ W$

A potência convertida em radiação visível será:

$2\%\ \cdot\ P\ =\ 4\ W$

A intensidade luminosa recebida por um objeto localizado a $10\ m$ da lâmpada será:

$I\ =\ \dfrac{P}{4 \pi r^2}\ =\ \dfrac{4}{4 \pi\ \cdot\ 100}\ =\ \dfrac{1}{100 \pi}\ \dfrac{W}{m^2}$

Exercício: variação de velocidade de uma onda em um fio com variação do raio de espessura.

Resolução:

Uma das relações que nos fornece a velocidade de uma onda linear é:

$v\ =\ \sqrt{\dfrac{T}{d\ \cdot\ S}}$.....[1]

Onde $T$ é a força tensora no fio, $d$ é a densidade do material constituinte do fio, e $S$ é a área da seção reta.

Sabemos que:

$S\ =\ \pi r^2$.....[2]

Onde $r$ é o raio da espessura do fio.

Substituindo [2] em [1]:

$v\ =\ \dfrac{1}{r} \sqrt{\dfrac{T}{\pi d}}$

Onde concluímos que a velocidade de propagação da onda é inversamente proporcional ao raio de espessura.

Assim, ao dividir o raio por $2$, a velocidade será duplicada. Assim, chamando de $v_{BC}$ a velocidade no trecho $BC$, teremos:

$v_{BC}\ =\ 2\ \cdot\ 200\ =\ 400\ \dfrac{m}{s}$

Exercício: determinando o comprimento de onda por meio de um objeto em deslocamento.

(U Mackenzie-SP) As ondas de um lago chegam de $10$ em $10$ segundos a um ponto da margem. Uma boia desloca-se no sentido contrário ao da propagação das ondas com uma velocidade de $30\ \dfrac{cm}{s}$ em relação à margem, levando $5$ segundos para ir de uma depressão a outra, transpondo $8$ cristas. Qual o espaçamento entre as cristas?

Resolução:

A grandeza pedida é o comprimento de onda das oscilações da maré.

Chamando de $v$ a velocidade das ondas da maré e $\lambda$ seu comprimento de onda, teremos:

$v\ =\ \dfrac{\lambda}{10}$.....[1]

Para a bóia, teremos uma velocidade relativa, tendo uma oscilação própria diferente da do ponto da margem.

Como transpôs $8$ cristas em $5$ segundos, seu período de oscilação será $\dfrac{5}{8}$ segundos, tendo para sí a relação:

$v + 30\ =\ \dfrac{\lambda}{\dfrac{5}{8}}$.....[2]

Substituindo [1] em [2], teremos:

$\dfrac{\lambda}{10} + 30\ =\ \dfrac{8\lambda}{5}$

Donde:

$\lambda\ =\ 20\ cm$

Exercício: intensidades sonoras iguais.

Resolução:

De acordo com a relação:

$I\ =\ \dfrac{P}{4\pi r^2}$

Mantendo-se constante a intensidade sonora, sendo esta inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à fonte e diretamente proporcional à potência, dobrando-se a distância, a potência deve ser multiplicada por $4$.

Chamando $P_B$ a potência da fonte B, teremos:

$P_B\ =\ 4\ \cdot\ 2,0\ =\ 8,0\ mW$

Exercício: frequência de oscilação de um barco em deslocamento.

(FEI-SP) Um barco A navega contra as ondas numa velocidade de $4,0\ \dfrac{m}{s}$. Uma embarcação B, ancorada, oscila com uma frequência de $0,03\ s^{-1}$. Sabendo que não ha correnteza, mas que as ondas se propagam com a velocidade de $2,4\ \dfrac{m}{s}$, determine a frequência de oscilação do barco A.

Resolução:

Observando o barco B, estático, podemos determinar o comprimento das ondas:

$2,4\ =\ 0,03\ \cdot\ \lambda\ \Rightarrow\ \lambda\ =\ 80\ m$

O barco A terá uma velocidade relativa de $4,0\ +\ 2,4\ =\ 6,4\ \dfrac{m}{s}$ com as ondas.

Aplicando a mesma lei e chamando de $f$ a frequência de oscilação do barco A, teremos:

$6,4\ =\ f\ \cdot\ 80\ \Rightarrow\ f\ =\ 0,08\ s^{-1}$

Exercício: período de um sistema pendular.

(FCM Santa Casa-SP) Na figura abaixo está representado um pêndulo simples, de período igual a $T$. Colocando-se um prego (P) na posição indicada, o pêndulo, na máxima elongação para a esquerda, fica com a configuração indicada pela linha pontilhada, voltando, depois, à sua configuração inicial.
Qual é o período de oscilação desse sistema?

a) 4T/3
b) 3T/2
c) 3T/4
d) 2T/3
e) 2T

Resolução:

Chamemos o período do sistema de $T_{eq}$, e o período do pêndulo ao lado esquerdo do prego de $T_p$.

Logicamente teremos $T_{eq}\ =\ \dfrac{T}{2}\ +\ \dfrac{T_p}{2}$......[1]

Como o período de um pêndulo, para oscilações de pequena amplitude, é diretamente proporcional à raiz quadrada do seu comprimento, e o comprimento do pêndulo à esquerda do prego fica multiplicado por $\dfrac{1}{4}$, teremos que:

$T_p\ =\ \dfrac{T}{2}$.....[2]

Substituindo [2] em [1], teremos:

$T_{eq}\ =\ \dfrac{T}{2}\ +\ \dfrac{T}{4}\ =\ \dfrac{3T}{4}$

Logo a alternativa correta é a C.

Exercício: MHS: elongação em uma fração da velocidade máxima.

(FO LINS-SP) Uma partícula executa movimento harmônico simples. Quando passa pelo ponto de elongação $x\ =\ +3,2\ cm$, sua velocidade é igual a $60\%$ da sua velocidade máxima. Qual é a amplitude do movimento?

Resolução:

Em um MHS sabemos que a equação que relaciona as variáveis velocidade e espaço é a equação de Torricelli para o MHS linear:

$v^2\ =\ \omega^2(a^2 - x^2)$.

Sabemos também que a velocidade é dada pela função horária:

$v\ =\ -\omega a\ \cdot\ \sin(\omega t + \varphi_0)$

Tendo seu máximo valor quando a fase for:

$\varphi\ =\ \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\ ,\ k \in \mathbb{Z}$

Assim:

$v_{max}\ =\ \omega a$.

Substituindo na relação de Torriceli:

$(60\%)^2 \omega^2 a^2\ =\ \omega^2 (a^2 - x^2)$

Donde:

$x\ =\ \dfrac{8}{10} a$

Substituindo $x$ por $3,2$, teremos:

$a\ =\ 4\ cm$

Exercício: movimento oscilatório de um corpo flutuando em um fluido.

Uma rolha de densidade $d_r$ e altura $H$ flutua num líquido de densidade $d_{\ell}$. Afunda-se ligeiramente a rolha para baixo, deixando-se, a seguir, oscilar. Sendo $g$ a aceleração local da gravidade, determine o período de oscilação da rolha.

Resolução:

Antes de tudo, vamos determinar qual será o tipo de movimento da rolha.

Quando estática, o sistema estará em equilíbrio. Após afundar a rolha, surgirá uma resultante-empuxo trará a rolha de volta à sua posição inicial.

Chamando $A$ a área da secção reta da rolha, $E$ a força-empuxo, $h$ o comprimento submerso da rolha em equilíbrio, e $x$ o deslocamento imposto à rolha, teremos:

$E - P\ =\ d_{\ell}\ \cdot\ A\ \cdot\ (h - x)\ \cdot\ g\ -\ d_r\ \cdot\ A\ \cdot\ H\ \cdot\ g\ =$

$=\ gA[d_{\ell}(h - x) - d_r H]$

Considerando $d_r\ \approx\ 0$, $h\ \approx\ 0$, $P\ \approx\ 0$, e chamando de $R$ a resultante, teremos:

$R\ =\ E\ =\ -d_{\ell}gA\ \cdot\ x$

Logo podemos considerar $R$ aproximadamente uma força restauradora e diretamente proporcional ao deslocamento imposto $x$, caracterizando um MHS linear.

Assim podemos utilizar a fórmula geral do período:

$T\ =\ 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Onde:

$m\ =\ d_r A H$

e

$k\ =\ d_{\ell}gA$

Logo:

$T\ =\ 2\pi\sqrt{\dfrac{d_r H}{d_{\ell} g}}$

Exercício: período de oscilação de um pêndulo na Lua.

Na Terra, um pêndulo simples executa oscilações com período $T_T$. Se este pêndulo oscilasse na Lua, seu período seria $T_L$. Determine a razão $\dfrac{T_T}{T_L}$. Sabe-se que a aceleração da gravidade na Lua é seis vezes menor que na Terra.

Resolução:

Para pequenas oscilações, o movimento do pêndulo será aproximadamente harmônico simples linear, o que possibilitará-nos utilizar a fórmula $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

Como a aceleração da gravidade na Lua é seis vezes menor que na Terra, teremos: $g_L = \dfrac{g_T}{6}$.

Assim:

$T_L\ =\ 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{\dfrac{g_T}{6}}}\ \Rightarrow\ T_L\ =\ (\sqrt{6})\ \cdot\ (2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g_T}})\ =\ \sqrt{6}\ \cdot\ T_T$

Donde:

$\dfrac{T_T}{T_L}\ =\ \dfrac{T_T}{\sqrt{6}\ \cdot\ T_T}\ =\ \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

Exercício: lentes ópticas.

Usando uma lente delgada convergente de distância focal $f$ é possível projetar nitidamente a imagem de um objeto frontal sobre uma tela situada a uma distância $D$ do objeto. Verifica-se também que, dependendo da relação entre $f$ e $D$, há duas posições da lente que dão imagem nítida; às vezes uma só posição e, às vezes, nenhuma. Determine uma relação entre $f$ e $D$ para que haja formação de tal imagem nítida.

Resolução:

Como trata-se de uma lente delgada, podemos usar as relações de Gauss. Como projeta uma imagem em um anteparo, a imagem é real, e como temos uma lente convergente, o objeto será também real.

$D\ =\ p\ +\ p'\ \Rightarrow\ p'\ =\ D\ -\ p$

$\dfrac{1}{f}\ =\ \dfrac{1}{p}\ +\ \dfrac{1}{p'}\ =\ \dfrac{1}{p}\ +\ \dfrac{1}{D - p}$

$p^2\ -\ Dp\ +\ Df\ =\ 0$

Para determinar quantas imagens nítidas serão formadas, basta analisar quantas soluções terá a equação polinomial do segundo grau em $p$.

$\Delta\ =\ D^2 - 4Df$

Para termos duas imagens nítidas, teremos que $D\ >\ 4f$. Para termos uma única imagem nítida, teremos que $D\ =\ 4f$. Para não termos imagens nítidas, teremos que $D\ <\ 4f$.

Exercício: produto de matrizes #2.

Sendo A, B e C matrizes, tais que $C\ =\ A\ \cdot\ B$, com:

$A\ =\ (a_{i j})_{2 \times 3},\ a_{i j}\ =\ i^2 + j^2$;
$B\ =\ (b_{i j})_{3 \times 4},\ b_{i j}\ =\ 2i + j$;
$C\ =\ (c_{i j})$.

Determine os elementos $c_{2 3} $ e $ c_{3 4}$ da matriz $C$.

Resolução :

Por definição, o elemento $c_{2 3}$ será $P\ =\ \sum_{k = 1}^3 (a_{2 k}\ \cdot\ b_{k 3})$.

$P\ =\ \sum_{k = 1}^3 [(2^2 + k^2)\ \cdot\ (2k + 3)]\ =\ 5\ \cdot\ 5\ +\ 8\ \cdot\ 7\ +\ 13\ \cdot\ 9$

$P\ =\ 25\ +\ 56\ +\ 117\ =\ 198$

Exercício: atraso na dilatação térmica de um relógio de pêndulo.

(Unisa-SP) Um relógio é controlado por um pêndulo que marca corretamente os segundos a $20 ^\circ C$. O pêndulo é feito de um material cujo coeficiente de dilatação linear é $16\ \cdot\ 10^{-6}\ ^\circ C^{-1}$. Quando a temperatura é mantida a $30\ ^\circ C$, qual o atraso do relógio em uma semana?

Resolução :

O período de um pêndulo que oscila em ângulos pequenos é dado aproximadamente por $T\ =\ 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$, onde $L$ é seu comprimento e $g$ é a aceleração da gravidade local.

Sabemos também que, do teorema da dilatação térmica, $L\ =\ L_0 (1 + \alpha \Delta \theta)$.

Para os dados do enunciado, teremos $L\ =\ L (1 + 16\ \cdot\ 10^{-6}\ \cdot\ 10)\ =\ L\ \cdot\ 1,00016$.

Assim, se o comprimento será multiplicado por $1,00016$, o período do pêndulo será multiplicado por $\sqrt{1,00016}\ \approx\ 1,000080$.

Como em uma semana temos $7\ \cdot\ 24\ \cdot\ 3600\ =\ 604800$ segundos, o relógio com o pêndulo dilatado marcará $\dfrac{604800}{1,000080}\ \approx\ 604752$ segundos, dando uma diferença, considerando as aproximações, de $48$ segundos.

Exercício: número de vasos capilares.

Em um ser humano adulto, a artéria aorta tem raio interno aproximadamente igual a $1,0\ cm$, e o sangue passa por ela com velocidade média igual a $30\ \dfrac{cm}{s}$. Em um vaso capilar o raio interno é aproximadamente igual a $4,0\ \cdot\ 10^{-4}\ cm$, e a velocidade do sangue é aproximadamente igual a $5,0\ \cdot\ 10^{-2}\ \dfrac{cm}{s}$. Calcule a ordem de grandeza do número de vasos capilares.

Resolução :

A vazão na aorta será :

$\Phi_a\ =\ A_a\ \cdot\ v_a\ =\ (1,0)^2\ \cdot\ \pi\ \cdot\ 30\ =\ 30 \pi\ \dfrac{cm^3}{s}$

A vazão em um capilar será :

$\Phi_c\ =\ A_c\ \cdot\ v_c\ =\ (4,0\ \cdot\ 10^{-4})^2\ \cdot\ \pi\ \cdot\ 5,0\ \cdot\ 10^{-2}\ =$

$=\ 8 \pi\ \cdot\ 10^{-9}\ \dfrac{cm^3}{s}$

Chamemos de $n$ o número de capilares. Como a vazão da aorta se distribui para todos os capilares, teremos :

$\Phi_a\ =\ n\ \cdot\ \Phi_c$

$30 \pi\ =\ n\ \cdot\ 8 \pi \cdot\ 10^{-9}$

$n\ =\ 3,75\ \cdot\ 10^9$

Logo a ordem é de bilhões de vasos capilares em um humano adulto.