Exercício: ondulatória - harmônicos coincidentes.

Texto para as duas questões.

Uma pessoa cuja capacidade de audição vai de $20\ Hz$ a $20\ kHz$, ouve os sons produzidos simultaneamente por dois tubos sonoros: um aberto, de comprimento $42\ cm$, soprado com ar, e outro fechado, de comprimento $100\ cm$, soprado com hidrogênio. A pessoa verifica que algumas frequências podem ser produzidas simultaneamente pelos dois tubos. A velocidade do som no ar é $v_{ar}\ =\ 336\ m / s$ e a velocidade do som no hidrogênio é $v_H\ =\ 1280\ m / s$.

(FEI-SP) A menor frequência comum aos dois tubos que a pessoa ouve é:

a) $20\ Hz$
b) $400\ Hz$
c) $800\ Hz$
d) $1600\ Hz$
e) n.d.a.

(FEI-SP) O som mais agudo, produzido simultaneamente pelos dois tubos, que pode ser ouvido pela pessoa, tem frequência:

a) $1600\ Hz$
b) $3200\ Hz$
c) $17600\ Hz$
d) $19200\ Hz$
e) n.d.a.

Resolução:

Como ambos os tubos produzirão a mesma frequência, teremos a equação:

$n_1\ \cdot\ \dfrac{v_{ar}}{2 \ell_{ar}}\ =\ n_2\ \cdot\ \dfrac{v_H}{4 \ell_H}$     [1]

Onde $\ell_{ar}$ é o comprimento do tubo preenchido com ar, $\ell_H$ é o comprimento do tubo preenchido com hidrogênio, $n_1$ é a ordem do harmônico do primeiro tubo e $n_2$ é a ordem do harmônico do segundo tubo.

Substituindo os valores em [1]:

$n_1\ \cdot\ 400\ =\ n_2\ \cdot\ 320$     [2]

Cada membro da equação acima nos dá a frequência comum procurada. Para encontrá-la precisamos um inteiro qualquer $n_1$ e um inteiro ímpar $n_2$ que a satisfaça.

De [2] podemos concluir:

$n_1\ =\ 0,8\ \cdot\ n_2$     [3]

Assim temos que encontrar o menor ímpar $n_2$ que multiplicado por $0,8$ dê um inteiro. Tal número é $5$.

De [2], concluímos que a menor frequência procurada será:

$f_m\ =\ 5\ \cdot\ 320\ =\ 1600\ Hz$

Logo, para a primeira questão, a alternativa correta é a D.

...

Como a maior frequência audível é $20000\ Hz$, o $n_2$ deve ser tal que:

$n_2\ \le\ \dfrac{20000}{320}\ =\ 62,5$

Assim, por tentativas, devemos encontrar o máximo inteiro ímpar $n_2\ \le\ 61$ que, pela expressão [3], nos forceça um $n_1$ inteiro:

Para $n_2\ =\ 61$ teremos $n_1\ =\ 48,8$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 59$ teremos $n_1\ =\ 47,2$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 57$ teremos $n_1\ =\ 45,6$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 55$ teremos $n_1\ =\ 44$. Encontramos.

Assim, a máxima frequência comum será no quadragésimo-quarto harmônico do primeiro tubo:

$f_M\ =\ 44\ \cdot 400\ =\ 17600\ Hz$

Logo, para a segunda questão, a alternativa correta é a C.