Sejam $A$ e $B$ matrizes para as quais $AB$ está definido. Mostrar que o espaço de colunas de $AB$ está contido no espaço de colunas de $A$.

Basta mostrar que uma combinação linear das colunas de $AB$ é uma combinação linear das colunas de $A$.

Sejam $a_{ij}$ um elemento de $A$, $b_{jk}$ um elemento de $B$, $\alpha_k,\ k = 1,\dots ,o$ escalares, e $c_i$ uma combinação linear das colunas de $AB$ na linha $i$:

$c_i = \displaystyle\sum_{k=1}^o \alpha_k \displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk} = \displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} \displaystyle\sum_{k=1}^o \alpha_k b_{jk}$.

Ou seja, $c_i$ é uma combinação linear das colunas de $A$ na linha $i$.

Quod Erat Demonstrandum.