Mostre que os polinômios $(1 - t)^3$, $(1 - t)^2$, $1 - t$ e $1$ geram os polinômios de grau menor ou igual a $3$.

Basta mostrar que todo polinômio $at^3 + bt^2 + ct + d$ é uma combinação linear de $(1 - t)^3$, $(1 - t)^2$, $1 - t$ e $1$, ou seja, que existem escalares $x$, $y$, $z$ e $w$ tais que, para todos $a$, $b$, $c$ e $d$:

$x(1 - t)^3 + y(1 - t)^2 + z(1 - t) + w = at^3 + bt^2 + ct + d$.

Desenvolvendo:

$-xt^3 + (3x + y)t^2 + (-3x - 2y - z)t + (x + y + z + w) = at^3 + bt^2 + ct + d$.

Donde concluímos que existem:

$x = -a$, $y = b + 3a$, $z = -3a - 2b - c$ e $w = a + b + c + d$.

Quod Erat Demonstrandum.