Mostre que $L(L(S)) = L(S)$.

Sejam $s$ um elemento de $L(L(S))$, $s_i,\ i \in \mathbb{N}$ elementos de $S$, $a_i,\ i \in \mathbb{N}$ escalares e $b_j,\ j \in \mathbb{N}$ escalares.

Obviamente $L(S) \subset L(L(S))$. ${\large (I)}$

$s = \displaystyle\sum b_j\displaystyle\sum a_i s_i = \displaystyle\sum_i \left(\displaystyle\sum_j b_j a_i\right)s_i$, que é um elemento de $L(S)$. Assim, $L(L(S)) \subset L(S)$. ${\large (II)}$

${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \Rightarrow\ L(L(S)) = L(S)$

Quod Erat Demonstrandum.