Seja $U$ tal intersecção.
Se $S$ é subespaço, $U = S$. ${\large (I)}$
Se $S$ não é subespaço, $U = L(S)$. ${\large (II)}$
${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \Rightarrow\ U \subset L(S)$ ${\large (III)}$
Seja $s'$ um elemento de $L(S)$ que não pertence a $U$, no entanto, como $U$ é subespaço, $s'$ pode ser obtido como uma combinação linear dos elementos de $S$, e, consequentemente, dos elementos de $U$. Onde temos uma contradição. Logo:
$L(S) \subset U$. ${\large (IV)}$
${\large (III)}\ \wedge\ {\large (IV)}\ \Rightarrow\ L(S) = U$
Quod Erat Demonstrandum.
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