Se $S_i$ gera $W_i$, $i \in \mathbb{N}_n$, mostre que $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n S_i$ gera $\displaystyle\sum_{i=1}^n W_i$.

$S_1$ gera $W_1$. ${\large (I)}$

Vamos supor que $\displaystyle\bigcup_{i=1}^p S_i$ gera $\displaystyle\sum_{i=1}^p W_i$, $p < n$, mostremos que $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{p+1} S_i$ gera $\displaystyle\sum_{i=1}^{p+1} W_i$

Seja $w$ um elemento de $\displaystyle\sum_{i=1}^p W_i$.

Se $w'$ é um elemento de $W_{p+1}$, $w + w'$ é um elemento de $\displaystyle\sum_{i=1}^{p+1} W_i$.

$w + w'$ é uma combinação linear de $\displaystyle\bigcup_{i=1}^p S_i$ e $S_{p+1}$, logo combinação linear de $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{p+1} S_i$. ${\large (II)}$

Com ${\large (I)}$ e ${\large (II)}$, por indução finita, provamos.

Quod Erat Demonstrandum.