Sejam $s$ um elemento de $L(S)$, $s'$ um elemento de $L(S \cup \{O\})$, $s_i,\ i \in \mathbb{N}$ elementos de $S$, e $a_i,\ i \in \mathbb{N}$ e $b$ escalares.
$s = \displaystyle\sum a_is_i = \left(\displaystyle\sum a_is_i\right) + bO$ que é um elemento de $L(S \cup \{O\})$. Assim $L(S) \subset L(S \cup \{O\})$. ${\large (I)}$
$s' = \left(\displaystyle\sum a_is_i\right) + bO= \displaystyle\sum a_is_i$ que é um elemento de $L(S)$. Assim $L(S \cup \{O\}) \subset L(S)$. ${\large (II)}$
${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \Rightarrow\ L(S) = L(S \cup \{O\})$
Quod Erat Demonstrandum.
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