Exercício: raízes comuns a dois polinômios.

Determine as raízes comuns aos polinômios $P(x) \equiv 2x^6 - x^2 + 1$ e $Q(x) \equiv x^6 + 4x^4 - 3$.

Resolução:

Se $x$ é raíz de $P(x)$ e também de $Q(x)$, então $P(x) = 0$ e $Q(x) = 0$, logo, afim de cancelar os termos em $x^6$, podemos tranquilamente escrever:

$2Q(x) - P(x) = 0$

$8x^4 + x^2 - 7 = 0$

$x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{16}$

$x^2 = \dfrac{-1 + 15}{16}\ \vee\ x^2 = \dfrac{-1 - 15}{16}$

$x^2 = \dfrac{7}{8}\ \vee\ x^2 = -1$

$x \in \{\sqrt{\dfrac{7}{8}}, -\sqrt{\dfrac{7}{8}}, i, -i\}$

Fazendo uma verificação, destes valores apenas $i$ e $-i$ são raízes de ambos.