Exercício: dado $y=|\sqrt{x^2-8x+16}-\sqrt{x^2-2x+1}|$, construir o gráfico da função.

Observemos que:

$\sqrt{x^2 - 8x + 16}\ =\ \sqrt{(x - 4)^2}\ =\ |x - 4|$

$\sqrt{x^2 - 2x + 1}\ =\ \sqrt{(x - 1)^2}\ =\ |x - 1|$

Analisemos então o comportamento de $y$ de acordo com o comportamento de suas parcelas modulares.

Para $x\ <\ 1$:

$|x - 1|\ =\ 1 - x$

$|x - 4|\ =\ 4 - x$

Assim:

$y_1\ =\ |(4 - x) - (1 - x)|\ =\ |3|\ =\ 3$
__

Para $1\ \le\ x\ <\ 4$:

$|x - 1|\ =\ x - 1$

$|x - 4|\ =\ 4 - x$

Assim:

$y_2\ =\ |(4 - x) - (x - 1)|\ =\ |-2x + 5|$

Se $x\ <\ \dfrac{5}{2}$:

$|-2x + 5|\ =\ -2x + 5$

$y_{2,1}\ =\ -2x + 5$

Se $x\ \ge\ \dfrac{5}{2}$

$|-2x + 5|\ =\ 2x - 5$

$y_{2,2}\ =\ 2x - 5$
__

Para $x\ \ge\ 4$:

$|x - 1|\ =\ x - 1$

$|x - 4|\ =\ x - 4$

Assim:

$y_3\ =\ |(x - 4) - (x - 1)|\ =\ |-3|\ =\ 3$
__

Construindo agora os gráficos das três funções componentes, uma para cada intervalo de $x$: