Demonstração: unicidade do ponto médio.

O ponto médio $M$ de um segmento de reta $\overline{AB}$ é tal que $\overline{AM}\ \equiv\ \overline{MB}$:



Vamos demonstrar que ele é único, ou seja, que não existem outros pontos médios de um mesmo segmento.

Vamos supor que existam dois pontos distintos $X$ e $Y$ que sejam pontos médios de $\overline{AB}$.



$X$ está entre $A$ e $Y$ $\Rightarrow\ \overline{AY}\ >\ \overline{AX}$.

$Y$ está entre $X$ e $B$ $\Rightarrow\ \overline{XB}\ >\ \overline{YB}$.

$\overline{AY}\ >\ \overline{AX}\ \equiv\ \overline{XB}\ >\ \overline{YB}$

O que é um absurdo, pois $Y$, por hipótese, é ponto médio de $\overline{AB}$.

Logo, $X\ \equiv\ Y$.