Soma de vetores de mesma direção.

Vamos deduzir a fórmula genérica do módulo da soma de vetores. Observemos a figura:



Seja $\theta$ o ângulo entre os vetores-parcelas.
Utilizando apenas da ferramenta pitagórica, temos:

$v_{1x}\ =\ v_1 \cos\ \theta$

$v_{1y}\ =\ v_1 \sin\ \theta$

$v^2\ =\ (v_2\ +\ v_1 \cos\ \theta)^2\ +\ (v_1 \sin\ \theta)^2$

$v^2\ =\ {v_2}^2\ +\ {v_1}^2 \cos^2\ \theta\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta + {v_1}^2 \sin^2\ \theta$

$v^2\ =\ {v_2}^2\ +\ {v_1}^2 (\cos^2\ \theta\ +\ \sin^2\ \theta)\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta$

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta$

Este é um pensamento elementar, mas de uma beleza que tocou-me:

Se $\overrightarrow{v_1}$ e $\overrightarrow{v_2}$ tem a mesma direção, então $\theta\ = 0\ \vee\ \theta\ =\ \pi$. Logo $\cos\ \theta\ =\ 1\ \vee\ \cos\ \theta\ =\ -1$.

Se tem mesmo sentido, teremos:

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ 0$

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2\ =\ (v_2\ +\ v_1)^2$

$v\ =\ v_2 +\ v_1$

Se tem sentidos contrários, teremos:

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \pi$

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ - 2 v_1 v_2\ =\ (v_2\ -\ v_1)^2$

$v\ =\ |v_2 -\ v_1|$