Comprimento do gráfico cartesiano de uma função qualquer.

Consideremos o gráfico de uma função qualquer em $x$ $f(x)$.

Tendo por objetivo calcular seu comprimento, basta calcular a integral da distância $d$ entre dois pontos do gráfico cujas abscissas são os limites:



Por Pitágoras, temos que $d^2\ =\ (x_2\ -\ x_1)^2 + [f(x_2)\ -\ f(x_1)]^2$

Considerando $x_2\ -\ x_1\ =\ \delta$ e $f(x_2)\ -\ f(x_1)\ =\ f(x_1\ +\ \delta)\ -\ f(x_1)$, e para simplificar os cálculos considerar $x_1\ =\ a$, temos:

$C_{f_{a\to b}}\ =$

$=\ \{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_a^{b\ -\ \epsilon} \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\}\ -$

$-\ \{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_{b\ +\ \epsilon}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\}$

$\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ dá a área do gráfico $d\ \times\ \delta $.

$\int_a^{b\ -\ 1} \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ seria o subtraendo da área para obtermos $d(b)$, mas como podemos ter $b\ -\ a\ \leq\ 1$ devemos subtrair de $b$ um infinitesimal $\epsilon$, mas em contrapartida devemos multiplicar a diferença de áreas por $\dfrac{1}{\epsilon}$ afim de obter uma área restante de $1\ \cdot\ d(b)$ unidades.

O mesmo raciocínio para $\int_{a\ +\ 1}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ afim de encontrar $d(a)$.

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Exemplo:

Seja $f(x)\ =\ x$:

Como $a\ =\ 0\ \wedge\ f(0)\ =\ 0$, temos que $d(0)\ =\ 0$, ou seja:

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_{b\ +\ \epsilon}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\ =\ 0$

$C_{f_{0\to 1}}\ =\ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_0^1 \sqrt{\delta^2\ +\ (0 + \delta\ -\ 0)^2}\ d\delta\ -\ \int_0^{1\ -\ \epsilon} \sqrt{\delta^2\ +\ (0 + \delta\ -\ 0)^2}\ d\delta}{\epsilon}$

$\int_0^1 \sqrt{2\delta^2}\ d\delta\ =\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\int_0^{1\ -\ \epsilon} \sqrt{2\delta^2}\ d\delta =\ (1\ -\ \epsilon)^2\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ =\ (1\ -\ 2\epsilon\ +\ \epsilon^2)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Usando L'Hôpital:

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\ -\ (1\ -\ 2\epsilon\ +\ \epsilon^2)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\epsilon}\ =\ \lim_{\epsilon \to 0} - (-2\ +\ 2\epsilon)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ = \sqrt{2}$

Assim:

$C_{f_{0\to 1}}\ =\ \sqrt{2}$