Volume do toro.

O toro é o sólido gerado pela rotação de uma circunferência em torno de um eixo coplanar exterior a ela.

Tomemos uma secção transversal do toro, uma circunferência $\lambda$ de raio $r$, digamos que o raio do toro, a distância do centro da circunferência transversal ao eixo de rotação, seja $R$, $R > r > 0$.

Sem perda de generalidade, consideremos o toro com $\lambda$ no plano $xOy$ com centro em $(R, 0)$ e o eixo de rotação $y$.

$\lambda:\ y = \sqrt{r^2 - (x - R)^2}\ \vee\ y = -\sqrt{r^2 - (x - R)^2}$

Pelo método das cascas cilíndricas:

$V\ =\ 4\pi \int_{R-r}^{R+r} x\sqrt{r^2 - (x - R)^2}\ dx\ =\ 4\pi r \int_{R-r}^{R+r} x\sqrt{1 - (\dfrac{x - R}{r})^2}\ dx$

Seja $\dfrac{x - R}{r} = \sin \theta$, $\theta \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$, $x = r\sin \theta + R$, $dx\ =\ r\cos \theta\ d\theta$.

$V = 4\pi r^3 \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\cos^2 \theta)(\sin \theta)\ d\theta\ +\ 4\pi rR \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos^2 \theta\ d\theta$

Seja $u = \cos \theta$, $du = -\sin \theta\ d\theta$.

$V\ =\ -4\pi r^3 \int_0^0 u^2\ du\ +\ 4\pi r^2R \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \dfrac{\cos (2\theta) + 1}{2}\ d\theta\ =$

$= 2\pi r^2 R [(\dfrac{\sin 2\theta}{2})|_{-\pi / 2}^{\pi / 2} + \theta|_{-\pi / 2}^{\pi / 2}] =$

$= 2\pi r^2 R \cdot \pi$

$\fbox{$V = 2\pi^2 Rr^2$}$

Encontrando $\pi$ como uma série de potências.

Consideremos a função $f(x) = \arctan x$:

$f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$

$f'(x)$ é uma série conhecida: $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$, que converge para $|x| < 1$.

Integrando $f'(x)$ afim de obter uma série para $f(x)$:

$f(x)\ =\ \int \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}\ dx\ =\ [\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \dfrac{x^{2n + 1}}{2n + 1}]\ +\ c$

Como $f(0) = 0$, temos que $c = 0$.

Tomemos agora um valor para $x$ respeitando a limitação de $|x| < 1$ e de tal modo que conheçamos $f(x)$, por exemplo $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ e $f(x) = \dfrac{\pi}{6}$:

$\dfrac{\pi}{6} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n + 1} (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2n + 1}$

$\fbox{$\pi = \sum_{n=0}^\infty 6 \cdot \dfrac{(-1)^n}{2n + 1} (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2n + 1}$}$

Exercício: representação de uma função em série.

Encontre a representação em série e o intervalo de convergência de $f(x) = \dfrac{1}{(1 + x)^3}$.

Resolução:

Primeiramente vamos obter uma expressão da série geométrica, com a qual sabemos trabalhar; para isto, vamos integrar $f(x)$ duas vezes:

$\int \int \dfrac{1}{(1 + x)^3}\ dx\ dx\ =\ \int (-\dfrac{1}{2(1 + x)^2} + c_1)\ dx\ =$

$=\ \dfrac{1}{2(1 + x)} + c_1x + c_2\ =\ \dfrac{1}{2}[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n]\ +\ c_1x +\ c_2$, $|x| < 1$

Como houveram duas integrações, vamos derivar duas vezes afim de obter uma expressão para $f(x)$:

$f'(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n n x^{n-1} + c_1$

$f(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=2}^\infty (-1)^n n(n - 1) x^{n-2}$

Fazendo uma reindexação:

$\fbox{$\dfrac{1}{(1 + x)^3} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n (n + 2)(n + 1) x^{n}}{2}$, $-1 < x < 1$}$

Integral de $\sec^3 x$.

Por se tratar de uma integral que aparece muitas vezes, quase classificada como "notável", principalmente após substituições trigonométricas, é bom já a ter previamente calculada em mente, é o que vamos fazer.

$\int \sec^3 x\ dx\ =\ \int (\sec^2 x)(\sec x)\ dx\ =$

$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int (\tan^2 x)(\sec x)\ dx\ =$

$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int (\sec^2 x\ -\ 1)(\sec x)\ dx\ =$

$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int \sec^3 x\ dx\ +\ \int \sec x\ dx$

Logo $\fbox{$\int \sec^3 x\ dx\ =\ \dfrac{(\sec x)(\tan x)\ +\ \ln |\sec x\ +\ \tan x|}{2}\ +\ C$}$.

Demonstração do teorema de Pitágoras.

Seja $\Delta ABC$ um triângulo retângulo em $A$:

$m(\overline{BC}) = a$
$m(\overline{AC}) = b$
$m(\overline{AB}) = c$
$m(\overline{AD}) = h$
$m(\overline{DB}) = n$
$m(\overline{DC}) = m$

Pelo caso AA, $\Delta ABC \sim \Delta DAC \sim \Delta DBA \Rightarrow$

$\Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{h} = \dfrac{c}{n} \wedge \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{m} = \dfrac{c}{h} \Rightarrow$

$\Rightarrow ah = bc \wedge an = c^2\text{ (I) } \wedge bn = hc \wedge am = b^2\text{ (II) } \wedge bh = cm$

Somando (I) e (II): $a(m + n) = b^2 + c^2 \Rightarrow \fbox{$a^2 = b^2 + c^2$}$

Exercício: estimativa de erro de uma série convergente.

Obtenha uma estimativa do erro (ou resto) $R_n$ para a enésima soma parcial $S_n$ da série convergente $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{1,1}}$ com relação à soma total $S$.

Resolução:

Não sabemos e não vamos deduzir aqui a expressão para $S_n$, no entanto, mesmo não conhecendo a fórmula, podemos estimar o erro para um dado $n$.

Observemos que se trata de uma p-série, em que $p = 1,1 > 1$, logo converge.

Como os termos são não negativos e decrescentes, podemos estimar o erro $R_n$ através da desigualdade:

$\int_{n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx\ \le\ R_n\ \le\ \int_n^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx$

Logo $\fbox{$\dfrac{10}{(n + 1)^{0,1}} \le R_n \le \dfrac{10}{n^{0,1}}$}$.

Exemplo: para $n = 1000000$, com auxílio de um software ou calculadora, obtemos $S_{1000000} \approx 8,07$ com a margem de erro $\dfrac{10}{1000000^{0,1}} \approx 2,51$ com relação à soma total.

Exercício: mostre que a série $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ é convergente.

Mostre que a série $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ é convergente.

Resolução:

Observemos que, para $n > 1$, $\dfrac{1}{n!} \le \dfrac{1}{n(n - 1)}$, tendo ambas as séries termos não negativos, assim podemos usar o teste da comparação:

Se $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.

$\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ tendo termos não negativos e não crescentes, podemos usar o teste da integral:

$\int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{x^2 - x} = \int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{(x - \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{4}}\ =\ 2\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1}$

Seja $u = 2x - 1$, $du = 2dx$:

$\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1} = \int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}$

Seja $u = \sec \theta$, $\theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}[$, $du = (\sec \theta)(\tan \theta) d\theta$:

$\int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}\ =\ \int_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}} \csc \theta\ d\theta\ =\ \ln |\csc \theta - \cot \theta||_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}\ =$

$=\ I,\ I \in \mathbb{R}$

Como a integral imprópria converge, $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, assim $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.

Uma alternativa ao $(-1)^n$ em séries.

$\sum_{n = 0}^N (-1)^n a = \sum_{n = 0}^N \cos(n\pi) a$

$a \in \mathbb{R}$, $N \in \mathbb{N}$.

Exercício: área da espiral de Arquimedes.

Determine a área delimitada pelo eixo polar e pela espiral de Arquimedes, $r = \theta$, para $0 \le \theta \le 2\pi$.

Resolução:

$A\ =\ \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} \theta^2\ d\theta\ =\ \dfrac{\theta^3}{6}|_0^{2\pi}\ = \fbox{$\dfrac{4\pi^3}{3}$}$

Meme: integrais em problemas de Matemática Elementar.

Exercício: área do elipsoide de rotação.

Encontre a área do elipsoide obtido pela rotação ao redor do eixo $x$ da elipse $2x^2 + y^2 = 1$.

Resolução:

$y = \sqrt{1 - 2x^2}$, $y' = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - 2x^2}}$

$A\ =\ 2\pi \int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \sqrt{1 - 2x^2}\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{1 - 2x^2}}\ dx\ =$

$=\ 2\pi \int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \sqrt{1 - x^2}\ dx$

Seja $x = \sin \theta$, $\theta \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$, $dx = \cos \theta\ d\theta$.

$A\ =\ \pi \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \cos 2\theta\ +\ 1\ d\theta\ =\ \pi(\dfrac{\sin 2\theta}{2} + \theta)|_{-\pi / 4}^{\pi / 4} = \fbox{$\pi(1 + \dfrac{\pi}{2})$}$

Meme: eu aprendendo a integrar.

Meme: exatas quando erra: o prédio cai.

Meme: o superpoder de fazer um pouco todos os dias.

Meme: aconteça o que acontecer, continue estudando.

Meme: não sei, estou de férias.

Meme: amanhã tem mais PDF.

Meme: antes de Cálculo e depois.

Exercício: área da superfície de revolução.

Encontre a área da superfície de revolução gerada pela rotação ao redor do eixo $x$ do gráfico da função $f(x) = e^{-x}$ para $x \ge 0$.

Resolução:

$f(x) = e^{-x}$, $f'(x) = -e^{-x}$

$A\ =\ 2\pi\int_0^{+\infty}e^{-x}\sqrt{1 + e^{-2x}}\ dx$

Seja $u = e^{-x}$, $du = -e^{-x} dx$.

$A\ =\ -2\pi\int_1^0 \sqrt{1 + u^2}\ du$

Seja $u = \tan \theta$, $du = \sec^2 \theta\ d\theta$.

$A\ =\ -2\pi\int_{\pi/4}^0 \sec^3 \theta\ d\theta\ = \fbox{$\pi[\ln(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{2}]$}$

Exercício: resolver equação diferencial ordinária.

Resolver a EDO:

$x + e^{-x}yy' = 0$, com $y(0) = 1$

Resolução:

$yy' = -xe^x$

$\int_0^x y(x)y'(x)\ dx\ =\ -\int_0^x xe^x\ dx$

Seja $u = y(x)$, $du = y'(x)dx$.

$\int_1^{y(x)} u\ du\ = -xe^x + e^x$

$\fbox{$\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{1}{2} = e^x(1 - x)$}$

Área da elipse.

Calculadora: transcrição e tradução do DNA.

Entre com o trecho do DNA a transcrever e traduzir:

Exemplo:

Input: "TCAAAGTTT".
Output: "Serina-fenilalanina-lisina.".




Cadeia polipeptídica resultante:

Calculadora: expressão de funções.

Entre com a expressão a ser calculada:

Exemplo:

Input: "(2 + sqrt(4)) * 3".
Output: aproximadamente "12".




Resultado:

Calculadora: aproximação por Taylor.

Entre com os argumentos, separados por vírgula ",", primeiro: string que representa a função; segundo: ponto no qual aplicar a função:

Exemplo:

Input: "sqrt, 3".
Output: aproximadamente "1.73".




Aproximação por Taylor:

Calculadora: derivada de um polinômio.

Entre com, separados por vírgula ",": primeiramente o polinômio, depois cada uma das variáveis com relação às quais vai haver a derivação, e, seguindo a variável, após dois pontos ":", quantas vezes irá haver a derivação.:

Exemplo:

Input: "3xxxy + 2xxyy + z, x : 2, y : 1".
Output: "18x + 8y".




Derivada:

Calculadora: valor numérico de um polinômio.

Separados por vírgula ",", entre primeiramente com o polinômio, depois os valores a serem atribuídos às variáveis: a variável, depois o caractere "=", e depois o valor real:

Exemplo:

Input: "3xyz + xx - 1, x = 4, y = 5".

Output: "60z + 15".




Valor numérico do polinômio:

Calculadora: divisão de polinômios de uma variável.

Entre com uma string contendo os polinômios de coeficientes reais dividendo e divisor separados por vírgula ",", com o divisor não nulo:

Exemplo:

Input: "2xx - 3x + 5, x - 1".

Output:

Quociente: 2x - 1

Resto: 4




Divisão:

Calculadora: multiplicação de polinômios.

Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem multiplicados:

Exemplo:

Input: "2x + 3y, 4 + z". Output: "2xz + 3yz + 8x + 12y".




Polinômio produto:

Calculadora: soma de polinômios.

Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem somados:

Exemplo:

Input: "2x - 3y + 5xx, 2y, -xx + 7x". Output: "4xx + 9x - y".




Polinômio soma:

Calculadora: reduzir termos semelhantes.

Entre com uma string contendo um polinômio de coeficientes reais a ter seus termos reduzidos:

Exemplo:

Input: "2x - 3y + 5.5xx - y + 10xx". Output: "15.5xx + 2x - 4y".




Polinômio reduzido:

Calculadora: conversão para algarismos romanos.

Entre com um número natural positivo a converter em algarismos romanos:

Exemplo:

Input: "24". Output: $XXIV$.




Número em algarismos romanos:

Calculadora: nome de um número.

Entre com uma string contendo um número natural:

Exemplo:

Input: "228". Output: "Duzentos e vinte e oito.".




Nome do número: