Volume do toro.

O toro é o sólido gerado pela rotação de uma circunferência em torno de um eixo coplanar exterior a ela.

Tomemos uma secção transversal do toro, uma circunferência $\lambda$ de raio $r$, digamos que o raio do toro, a distância do centro da circunferência transversal ao eixo de rotação, seja $R$, $R > r > 0$.

Sem perda de generalidade, consideremos o toro com $\lambda$ no plano $xOy$ com centro em $(R, 0)$ e o eixo de rotação $y$.

$\lambda:\ y = \sqrt{r^2 - (x - R)^2}\ \vee\ y = -\sqrt{r^2 - (x - R)^2}$

Pelo método das cascas cilíndricas:

$V\ =\ 4\pi \int_{R-r}^{R+r} x\sqrt{r^2 - (x - R)^2}\ dx\ =\ 4\pi r \int_{R-r}^{R+r} x\sqrt{1 - (\dfrac{x - R}{r})^2}\ dx$

Seja $\dfrac{x - R}{r} = \sin \theta$, $\theta \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$, $x = r\sin \theta + R$, $dx\ =\ r\cos \theta\ d\theta$.

$V = 4\pi r^3 \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\cos^2 \theta)(\sin \theta)\ d\theta\ +\ 4\pi rR \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos^2 \theta\ d\theta$

Seja $u = \cos \theta$, $du = -\sin \theta\ d\theta$.

$V\ =\ -4\pi r^3 \int_0^0 u^2\ du\ +\ 4\pi r^2R \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \dfrac{\cos (2\theta) + 1}{2}\ d\theta\ =$

$= 2\pi r^2 R [(\dfrac{\sin 2\theta}{2})|_{-\pi / 2}^{\pi / 2} + \theta|_{-\pi / 2}^{\pi / 2}] =$

$= 2\pi r^2 R \cdot \pi$

$\fbox{$V = 2\pi^2 Rr^2$}$