Por se tratar de uma integral que aparece muitas vezes, quase classificada como "notável", principalmente após substituições trigonométricas, é bom já a ter previamente calculada em mente, é o que vamos fazer.
$\int \sec^3 x\ dx\ =\ \int (\sec^2 x)(\sec x)\ dx\ =$
$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int (\tan^2 x)(\sec x)\ dx\ =$
$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int (\sec^2 x\ -\ 1)(\sec x)\ dx\ =$
$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int \sec^3 x\ dx\ +\ \int \sec x\ dx$
Logo $\fbox{$\int \sec^3 x\ dx\ =\ \dfrac{(\sec x)(\tan x)\ +\ \ln |\sec x\ +\ \tan x|}{2}\ +\ C$}$.
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