Obtenha uma estimativa do erro (ou resto) $R_n$ para a enésima soma parcial $S_n$ da série convergente $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{1,1}}$ com relação à soma total $S$.
Resolução:
Não sabemos e não vamos deduzir aqui a expressão para $S_n$, no entanto, mesmo não conhecendo a fórmula, podemos estimar o erro para um dado $n$.
Observemos que se trata de uma p-série, em que $p = 1,1 > 1$, logo converge.
Como os termos são não negativos e decrescentes, podemos estimar o erro $R_n$ através da desigualdade:
$\int_{n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx\ \le\ R_n\ \le\ \int_n^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx$
Logo $\fbox{$\dfrac{10}{(n + 1)^{0,1}} \le R_n \le \dfrac{10}{n^{0,1}}$}$.
Exemplo: para $n = 1000000$, com auxílio de um software ou calculadora, obtemos $S_{1000000} \approx 8,07$ com a margem de erro $\dfrac{10}{1000000^{0,1}} \approx 2,51$ com relação à soma total.
 |
Nenhum comentário:
Postar um comentário