Exercício: representação de uma função em série.

Encontre a representação em série e o intervalo de convergência de $f(x) = \dfrac{1}{(1 + x)^3}$.

Resolução:

Primeiramente vamos obter uma expressão da série geométrica, com a qual sabemos trabalhar; para isto, vamos integrar $f(x)$ duas vezes:

$\int \int \dfrac{1}{(1 + x)^3}\ dx\ dx\ =\ \int (-\dfrac{1}{2(1 + x)^2} + c_1)\ dx\ =$

$=\ \dfrac{1}{2(1 + x)} + c_1x + c_2\ =\ \dfrac{1}{2}[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n]\ +\ c_1x +\ c_2$, $|x| < 1$

Como houveram duas integrações, vamos derivar duas vezes afim de obter uma expressão para $f(x)$:

$f'(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n n x^{n-1} + c_1$

$f(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=2}^\infty (-1)^n n(n - 1) x^{n-2}$

Fazendo uma reindexação:

$\fbox{$\dfrac{1}{(1 + x)^3} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n (n + 2)(n + 1) x^{n}}{2}$, $-1 < x < 1$}$