Devido principalmente às variações na quantidade de chuva no decorrer dos meses do ano, a produção de leite na fazenda de Rui sofre variação segundo a função $L(M) = 300 - 50\sin[(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2}]$, em que $m$ representa o mês do ano, e $L$, a quantidade de leite produzida, em litros. Nos meses em que a quantidade de chuva é maior, a produção também aumenta, pois a qualidade das pastagens melhora.
a) Em qual mês ocorreu a maior produção de leite? Quantos litros foram produzidos?
b) Determine o período da função $L$.
Resolução:
a) $L$ é máxima quando o seno for mínimo, ou seja:
$(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$
$(\dfrac{m-1}{6})\pi = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi - \dfrac{3\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$
$(\dfrac{m-1}{6})\pi = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$
$\dfrac{m-1}{6} = 2k, k \in \mathbb{Z}$
$m - 1 = 12k, k \in \mathbb{Z}$
$m = 1 + 12k, k \in \mathbb{Z}$
Como $1 \le M \le 12$, $m = 1$, ou seja, o mês mais produtivo é janeiro, e a produção máxima é de $300 + 50 = 350\ l$.
b) O coeficiente de $m$ é $\dfrac{\pi}{6}$, logo o período da função é $|\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{6}}| = 12$.
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