Meme: pensamentos matemáticos em uma festa.

 

Meme: cientistas, religiosos e Matemáticos.

 

Seja o espaço vetorial das matrizes $2$ x $2$, mostrar que o subespaço $V$ das matrizes simétricas é $3$.

As matrizes $2$ x $2$ simétricas são do tipo $\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}$.

Notemos que há três variáveis, atribuindo $1$ a uma e $0$ às demais, teremos

$E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}$, $E_2 = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$ e $E_3 = \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

como candidatos à elementos de uma base, para tanto basta mostrar que geram $V$ e são linearmente independentes.

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

Portanto geram $V$. (I)

Determinemos os escalares $x$, $y$ e $z$ tais que $xE_1 + yE_2 + zE_3 = O$.

Encontraremos $x = y = z = 0$, portanto $E_1$, $E_2$ e $E_3$ são LI. (II)

Por (I) e (II) teremos que $\dim V = 3$.

Seja $V$ o espaço vetorial das funções reais, mostrar que o subconjunto $\{e^{2t}, t^2, t\}$ é linearmente independente.

Basta mostrar que $ae^{2t} +  bt^2 + ct = 0\ \Rightarrow\ a = b = c = 0,\ \forall t \in \mathbb{R}$.

Tomemos $t = 0$, $t = 1$ e $t = 2$:

$t = 0\ \Rightarrow\ a = 0$

$t = 1\ \wedge\ a = 0\ \Rightarrow\ b + c = 0$ (I)

$t = 2\ \wedge\ a = 0\ \Rightarrow\ 4b + 2c = 0$ (II)

Por (I) e (II) temos $b = c = 0$

Quod Erat Demonstrandum.

Encontrar $x = 145^2 - 143^2$.

$x = (145 + 143)(145 - 143) = 288 \cdot 2 = 576$

Meme: Matemática no topo.

 

Seja $V$ o espaço vetorial de todas as funções de um corpo $K$ em um corpo $K$; seja $U$ o subespaço das funções pares e $W$ o subespaço das funções ímpares. Mostrar que $V = U \oplus W$.

Sejam $f$ uma função par e $g$ uma função ímpar. Seja uma função $h$ tal que $h(x) = f(x) + g(x)$ (I).

$h(-x) = f(x) - g(x)$ (II)

Somando (I) e (II) obtemos $f(x) = \dfrac{h(x) + h(-x)}{2}$

Subtraindo (II) de (I) obtemos $g(x) = \dfrac{h(x) - h(-x)}{2}$

Como $h(x) = \underset{\text{Função par.}}{\underbrace{\dfrac{h(x) + h(-x)}{2}}} + \underset{\text{Função ímpar.}}{\underbrace{\dfrac{h(x) - h(-x)}{2}}}$,

$V = U + W$ (III)

Como a única função que é simultaneamente par e ímpar é a função nula $O$,

$U \cap W = \{O\}$ (IV)

Por (III) e (IV), obtemos o desejado.

$S = \{u_i\}$ é linearmente dependente se, e somente se, um vetor é combinação linear dos demais.

Se $S$ é LD, existe um escalar $a_j \neq 0$ tal que $a_1 u_1 +\ \dots\ + a_j u_j +\ \dots\ a_n u_n = 0$, logo

$u_j = -a_j^{-1}a_1 u_1 -\ \dots\ - a_j^{-1}a_{j-1} u_{j-1} - a_j^{-1}a_{j+1} u_{j+1} -\ \dots\ - a_j^{-1} a_n u_n$

Ou seja, $u_j$ é combinação linear dos demais.

Vamos supor agora que $u_j = a_1 u_1 +\ \dots\ + a_{j-1} u_{j-1} + a_{j+1} u_{j+1} +\ \dots\ + a_n u_n$, donde

$a_1 u_1 +\ \dots\ - u_j\ +\ \dots\ a_n u_n = 0$

Ou seja, $S$ é LD.

Quod Erat Demonstrandum.

Sejam $A$ e $B$ matrizes para as quais $AB$ está definido, mostrar que o espaço das colunas de $AB$ está contido no espaço das colunas de $A$.

Seja $R = (b_j)$ um vetor coluna tal que $AR$ está definido; sejam $A_i = (a_{ij})$ as linhas de $A$:

$AR = (A_1 R,\ \dots\ , A_n R) =$

$= (a_{11}b_1 +\ \dots\ + a_{1m}b_m,\ \dots\ , a_{n1}b_1 + \dots + a_{nm}b_m) =$

$= b_1 (a_{11},\ \dots\ , a_{n1}) +\ \dots\ + b_m (a_{1m},\ \dots\ , a_{nm})$

Assim, se $A$ é uma matriz qualquer para a qual $AB$ está definido, toda coluna de $AB$ estará no espaço das colunas de $A$, assim o espaço das colunas de $AB$ está contido no espaço das colunas de $A$.

Quod Erat Demonstrandum.

Sejam $U$ e $W$ subespaços de $V$ tais que $U \cup W$ também é subespaço, mostrar que $U \subset W\ \vee\ W \subset U$.

Se $U \cup W$ é subespaço, é fechado com relação à soma. Seja $u \in U$ e $w \in W$, $u + w\ \in\ U \cup W$.

Seja $u' \in U$ e $w' \in W$, $u + w = u'\ \vee\ u + w = w'$.

Ou seja, $w = u' - u\ \vee\ u = w' - w$, ou seja, $w \in U\ \vee\ u \in W$.

Quod Erat Demonstrandum.

 

Espaço das soluções de um sistema linear homogêneo.

Seja o sistema homogêneo

$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0\end{cases}$

Observemos que $O$ é solução.

Observemos que, se $a_{i1}x_i + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n = 0$, então $a_{i1}kx_i + a_{i2}kx_2 + \cdots + a_{in}kx_n = k\cdot 0 = 0$.

Observemos também que, se $a_{i1}x_i + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n = 0$ e $a_{j1}x_i + a_{j2}x_2 + \cdots + a_{jn}x_n = 0$,

então $(a_{i1} + a_{j1})x_i + (a_{i2} + a_{j2})x_2 + \cdots + (a_{in} + a_{jn})x_n = 0$.

Equivalência de condições para a validação de um subespaço vetorial.

Um conjunto $W$ é subespaço de $V$ se e somente se $W$ é não vazio, é fechado com relação à soma, e é fechado com relação à multiplicação por escalar. (I)

Mostrar que, para que $W$ seja subespaço de $V$, basta mostrar que $O \in W$ e $kw + k'w' \in W$, $k$ e $k'$ escalares. (II)

_____

Sejam $w, w', w'', w''' \in W$ e $k$ e $k'$ escalares.

Mostremos que (I) $\Rightarrow$ (II).

Se $W$ é não vazio e é fechado com relação à soma e à multiplicação por escalar:

$-w \in W$, $w - w = O \in W$

$w + w' \in W\ \Rightarrow\ kw'' + kw''' \in W$

Mostremos agora que (II) $\Rightarrow$ (I).

$O \in W\ \Rightarrow\ W \neq \varnothing$

$kw + k'w' \in W$.

Tomemos $k = k' = 1$: $w + w' \in W$.

Tomemos $k' = 0$: $kw \in W$.

Quod Erat Demonstrandum.

$ku = O\ \Rightarrow\ k = 0\ \vee\ u = O$

Se $k$ é um escalar e $u$ é um vetor,

$ku = O\ \Rightarrow\ k = 0\ \vee\ u = O$

_____

Se $k$ e $u$ são nulos, obviamente teremos $ku = O$

Se $k \neq 0$, $k^{-1}ku = k^{-1}O\ \Rightarrow\ u = O$

Se $u \neq O$, $k'u + ku = k'u\ \Rightarrow\ (k' + k)u = k'u\ \Rightarrow\ k' + k = k'\ \Rightarrow\ k = 0$

Quod Erat Demonstrandum.

Mathematical Ramblings Android App.

Disponível em:

https://bit.ly/MathematicalRamblingsAndroidApp

Seja $u$ um vetor, mostrar que $0u = O$.

Seja $k$ um escalar.

$0u = (k - k)u = ku - ku = O$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $K$ um corpo e $k \in K$, mostrar que $kO = O$.

Seja $u$ um vetor.

$kO = k(u - u) = ku - ku = O$

Quod Erat Demonstrandum.

Unicidade do vetor nulo.

Sejam $O$ e $O'$ vetores nulos, e $u$ um vetor.

$u + O = u\ \wedge\ u + O' = u$

$u + O = u + O'$

$(-u) + u + O = (-u) + u + O'$

$O + O = O + O'$

$\fbox{$O = O'$}$

Software: AV3DNavigator.

Desde jovem apaixonado por games, ficava e ainda gosto de contemplar gráficos tridimensionais, esta foi uma das razões de eu ter desenvolvido o AV3DNavigator.

sourceforge.net/projects/av3dnavigator

github.com/antoniovandre2/AV3DNavigator

De quantas formas podemos expressar $257$ como uma soma de dois números primos?

Observemos que $257$ é ímpar, e todos os números primos, com exceção do $2$, são ímpares; como a soma de dois ímpares é par, uma parcela deve ser o $2$. Assim teríamos

$257 = 2 + 255$

Mas $255$ não é primo, logo não há uma forma sequer de escrever $257$ como a soma de dois primos.

Temperatura de Antonio Vandré.

Em um gás ideal, a energia cinética média de uma partícula é dada por $e_c = \dfrac{3}{2}kT$, $k$ a constante de Boltzmann, e $T$ a temperatura absoluta.

Por que não poderíamos imaginarmos viver imersos em um gás cujas partículas são de dimensões familiares à nossa realidade, tal como um corpo esférico dotado de massa e velocidade?

Assim poderíamos atribuir uma temperatura a um objeto considerando apenas ele com sua energia cinética, não sua temperatura no sentido convencional, mas uma nova, que chamarei de Temperatura de Antonio Vandré.

Assim, a Temperatura de Antonio Vandré será dada pela fórmula:

$\fbox{$T_a = \dfrac{mv^2}{3k}$}$

Exemplo:

Seja um corpo de $1\ kg$ movendo-se a $1\ m/s$, sua temperatura de Antonio Vandré será:

$T_a \approx \dfrac{1}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23}} \approx 2,42 \cdot 10^{22}\ K$

Comprimento de uma curva tridimensional em coordenadas paramétricas.

Seja uma curva no espaço dada por

$\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\\ z = h(t)\end{cases}$

Seja $C$ a soma de todas as distâncias entre os pontos de coordenadas $[f(t_{i+1}), g(t_{i+1}), h(t_{i+1}),]$, e $[f(t_i), g(t_i), h(t_i)]$, $t \in (a, b)$.

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[f(t_{i+1}) - f(t_i)]^2 + [g(t_{i+1}) - g(t_i)]^2 + [h(t_{i+1}) - h(t_i)]^2}$.

Sejam $t_{k_i}$ tais que $t_i \le t_{k_i} \le t_{i+1}$. Pelo Teorema do Valor Médio:

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[(t_{i+1} - t_i)f'(t_{k_i})]^2 + [(t_{i+1} - t_i)g'(t_{k_i})]^2 + [(t_{i+1} - t_i)h'(t_{k_i})]^2} =$

$= \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[f'(t_{k_i})]^2 + [g'(t_{k_i})]^2 + [h'(t_{k_i})]^2}(t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}\ dt$}$

Exemplo:

Seja a helicoidal

$\begin{cases}x = \cos t\\ y = \sin t\\ z = \dfrac{t}{2}\end{cases}$.

O comprimento dela de $t = 0$ a $t = 2\pi$ é

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + \dfrac{1}{4}}\ dt = \sqrt{5}\pi$.

Seja $r \in \mathbb{R}$, demonstrar que $|r| = |-r|$.

Para $r = 0$ a igualdade é imediata.

Seja $r > 0$, $-r$ é negativo, logo $|-r| = -(-r) = r = |r|$.

Seja $r < 0$, $-r$ é positivo, logo $|-r| = -r = |r|$.

Quod Erat Demonstrandum.

Jogo de cartas: funções.

Muitas vezes desejamos apenas relaxar com uma atividade leve, não muito psiquicamente exigente. Pensando nisto criei um joguinho com cartas que nomeei de "funções". Explico.

Primeiramente criamos mentalmente uma função de duas variáveis; à primeira variável atribuímos valores de 1 a 13, de acordo com o número de uma carta retirada, 11 para o caso de valete, 12 para a dama e 13 para o rei; à segunda variável atribuímos os valores de 1 a 4, de acordo com o naipe, 1 se paus, 2 se ouros, 3 se copas e 4 se espadas.

De um deck embaralhado, vamos retirando uma a uma todas as cartas e calculando o valor da função para o par de variáveis.

Exemplo:

Se criarmos a função $f(x, y) = x + y$, $x$ o correspondente ao número e $y$ o correspondente ao naipe, e retirarmos uma dama de copas, a resposta correta à carta é $f(12, 3) = 12 + 3 = 15$.

MR Quiz - Estatísticas - Antonio Vandré Pedrosa Furtunato Gomes

Frequência horária de uso:

0%

00h

23h

100%

Frequência diária semanal:

0%

Segunda

Domingo

100%

Frequência mensal:

0%

Janeiro

Dezembro

100%

Pensamento: Knowledge isn't free. You have to pay attention.

 

Meme: Louco, porém bom em Matemática.

 

Resolver a inequação $\dfrac{1}{x} > -1$.

Observemos inicialmente que qualquer $x$ positivo satisfaz.

Para $x < 0$ teremos:

$1 < -x\ \Rightarrow\ x < -1$

Logo $\fbox{$S = (-\infty, -1) \cup \mathbb{R}^*_+$}$.

Resolver a inequação $\dfrac{3x - 1}{2 - x} > -10$.

Olhando para o denominador do primeiro membro, devemos considerar as possibilidades do mesmo ser positivo ou negativo, assim:

$x < 2\ \Rightarrow\ 3x - 1 > -20 + 10x\ \Rightarrow\ x < \dfrac{19}{7}$

$x > 2\ \Rightarrow\ 3x - 1 < -20 + 10x\ \Rightarrow\ x > \dfrac{19}{7}$

Logo $\fbox{$S = (-\infty, 2)\ \cup\ \left(\dfrac{19}{7}, +\infty\right)$}$.

Calculadora: desvio angular de um raio incidente refratado em um prisma de secção triangular.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", o ângulo de incidência em graus, variando $0$ a $180^o$, partindo do vértice do prisma de secção triangular, o índice de refração do meio, o índice de refração do prisma, e o ângulo de refringência do prisma.

Exemplo:

Entre com: "150; 1; 1.5; 75".




Desvio angular:

Calculadora: imagem conjugada por um espelho esférico gaussiano.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", a abscissa focal, a abscissa do objeto e, opcionalmente, a altura do objeto.

Exemplo:

Entre com: "-2; 1; 3".




Características da imagem:

Calculadora: deslocamento lateral de um raio incidente refratado em uma lâmina de faces paralelas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", o ângulo de incidência em graus, o índice de refração do meio, o índice de refração da lâmina, e a espessura da lâmina.

Exemplo:

Entre com: "45; 1; 1.5; 4.4".




Deslocamento lateral:

Meme: Eu, Professor de Matemática, comentando sobre outros temas.