Calculadora: desvio angular de um raio incidente refratado em um prisma de secção triangular.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", o ângulo de incidência em graus, variando $0$ a $180^o$, partindo do vértice do prisma de secção triangular, o índice de refração do meio, o índice de refração do prisma, e o ângulo de refringência do prisma.

Exemplo:

Entre com: "150; 1; 1.5; 75".




Desvio angular:

Calculadora: imagem conjugada por um espelho esférico gaussiano.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", a abscissa focal, a abscissa do objeto e, opcionalmente, a altura do objeto.

Exemplo:

Entre com: "-2; 1; 3".




Características da imagem:

Calculadora: deslocamento lateral de um raio incidente refratado em uma lâmina de faces paralelas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", o ângulo de incidência em graus, o índice de refração do meio, o índice de refração da lâmina, e a espessura da lâmina.

Exemplo:

Entre com: "45; 1; 1.5; 4.4".




Deslocamento lateral:

Meme: Eu, Professor de Matemática, comentando sobre outros temas.

 

Meme: medo de desencarnar e com bugs a corrigir...

 

Meme: sempre cansado de estudar.

 

Meme: eu depois de resolver uma questão de exatas...

 

Meme: Matemática, Física e vida...

 

Exercício: velocidade média em ida e volta.

Um ônibus faz o percurso entre as cidades A e B a uma velocidade de $72\ km/h$. ao chegar à cidade B, retorna para A com uma velocidade de $48\ km/h$. Qual é a sua velocidade média?

$v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{48}} = \dfrac{2 \cdot 144}{2 + 3} = \fbox{$57,6\ km/h$}$

Exercício: idades de pai e filho em proporção.

A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como $3$ está para $1$. Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de $24$ anos?

Seja $f$ a idade do filho.

$3f - f = 24\ \Rightarrow\ \fbox{$f = 12$}\ \Rightarrow\ \fbox{$3f = 36$}$

Exercício: tempo de impressão.

Uma impressora laser realiza um serviço em $7$ horas e meia, trabalhando na velocidade de $5000$ páginas por hora. Outra impressora, da mesma marca, mas de modelo diferente, trabalhando na velocidade de $3000$ páginas por hora, em quanto tempo executará o serviço?

A quantidade de páginas impressas pela primeira impressora foi $5000 \cdot 7,5 = 37500$ páginas.

A segunda impressora executará o mesmo serviço em $\dfrac{37500}{3000} = 12,5$ horas, ou $\fbox{$12 \text{ horas e } 30 \text{ minutos}$}$.

Exercício: elementos não pertencentes à união.

Numa escola de apenas $800$ alunos, é sabido que $200$ deles gostam de pagode; $300$ de rock e $130$ de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock?

$800 - (200 + 300 - 130) = \fbox{$430$}$

Exercício: saldos em dois bancos.

Eduardo possui duas contas bancárias: uma no Banco Alpha e outra no Banco Lótus. O saldo de sua conta no Banco Alpha possui $3$ unidades monetárias a menos do que o seu saldo no Banco Lótus. Além disso, o dobro de seu saldo no Banco Alpha mais o triplo de seu saldo no Banco Lótus é igual a $24$ unidades monetárias. Quais os saldos de Eduardo nos Bancos Alpha e Lótus?

Sejam $a$ o saldo no banco Alpha e $\ell$ o saldo no banco Lótus.

 

$\begin{array}{l c r}a = \ell - 3 & & 2a + 3\ell = 24\end{array}$

$2(\ell - 3) + 3\ell = 24\ \Rightarrow \fbox{$\ell = 6\ \wedge\ a = 3$}$

Exercício: jogo de idades.

Isaura tem o dobro da idade de Juraci, que é um ano mais velha que Benedita. Sabendo que daqui a dois anos a soma das idades de Isaura, Juraci e Benedita será igual a $77$ anos, qual a idade de Benedita daqui a $8$ anos?

Sejam $i$ a idade de Isaura, $j$ a idade de juraci, e $b$ a idade de Benedita.

$\begin{array}{l c c c r}i = 2j & & j = b + 1 & & i + j + b + 6 = 77\end{array}$

$2b + 2 + b + 1 + b = 71\ \Rightarrow\ b + 8 = \fbox{$25$}$

Exercício: razão entre homens e mulheres dadas as médias das idades.

A média aritmética das idades dos candidatos a um concurso público federal é de $36$ anos. Quando separados por sexo, essa média é de $37$ anos para o grupo do sexo masculino e $34$ para o grupo do sexo feminino. Qual a razão entre o número de homens e mulheres?

Sejam $h$ o número de homens, $H$ a soma das idades dos homens, $m$ o número de mulheres, e $M$ a soma das idades das mulheres.

$\begin{array}{l c c c r}\dfrac{H + M}{h + m} = 36 & & \dfrac{H}{h} = 37 & & \dfrac{M}{m} = 34\end{array}$

 

$\dfrac{37h + 34m}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ 34 + \dfrac{3h}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{h + m}{3h}\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{m}{3h}\ \Rightarrow\ \fbox{$\dfrac{h}{m} = 2$}$

Numa PG, o quarto termo é $20\%$ do terceiro termo. Sabendo que $a_1 = 2000$, qual o valor de $a_5$?

A razão é $0,2$.

$a_5 = 2000 \cdot 0,2^4 = 2000 \cdot 0,0016 = \fbox{$\dfrac{16}{5}$}$

Resolver em $U = \mathbb{R}$: $\log_3 (2x + 1) - \log_3 (5x - 3) = -1$.

$\dfrac{2x + 1}{5x - 3} = \dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ 6x + 3 = 5x - 3\ \Rightarrow\ x = -6$

Entretanto observemos que $-6$ não pertence aos domínios de $\log_3 (2x + 1)$ e $\log_3 (5x - 3)$, logo $\fbox{$S = \varnothing$}$.

Meme: por que Matemática pode ser religião?

 

Meme: utilizando minha própria calculadora nos estudos.

 

Meme: jogar Matemática.

 

Resolver a inequação $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2k + 1} > 3$.

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2k + 1} > \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}\ \Rightarrow\ 2k + 1 < -1\ \Rightarrow\ k < -1$

$\fbox{$S\ =\ ]-\infty, -1[$}$

Resolver a equação $4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$.

$\dfrac{4^x}{9^x} + \dfrac{6^x}{9^x} - 2 = 0\ \Rightarrow\ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\dfrac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = 1\ \Rightarrow\ x = 0$

$\fbox{$S = \{0\}$}$

Pensamento: Lançai sobre mim toda a vossa ansiedade...

 

Meme: se não me quis assim, não me procure quando eu estiver assim.

 

Seja $x_n = 9 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{5n^2}$, demonstre que $\lim x_n = 9$.

Devemos mostrar que existe um $n_0$ tal que $|x_n - 9| < \epsilon$ para todo $n > n_0$ para todo $\epsilon > 0$.

$\left|\cancel{9} + \dfrac{(-1)^{n+1}}{5n^2} - \cancel{9}\right| < \epsilon\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{5n^2} < \epsilon\ \Rightarrow\ n > \dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$

Como $\dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$ existe para todo $\epsilon$, basta tomar $n_0$ o menor inteiro maior que $\dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$, e assim $\lim x_n = 9$.

Quod Erat Demonstrandum.

Calculadora: simétrica de uma superfície de revolução gerada por curva por coordenadas paramétrico-polares com relação a um plano.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para $\theta$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; segundo: as expressões das funções para $\rho$, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as curvas, devem ser funções em $t$; terceiro: o coeficiente de $x$ do plano de referência; quarto: o coeficiente de $y$ do plano de referência; quinto: o coeficiente de $z$ do plano de referência; sexto: o coeficiente independente do plano de referência; sétimo: "0" para não mostrar o plano de simetria e as superfícies originais, ou "1" para mostrar; o plano de referência é da forma $ax + by + cz + d = 0$; oitavo: um número real como valor inferior; nono: um número real como valor superior; décimo: a abscissa do centro de expansão radial; décimo-primeiro: a ordenada do centro de expansão radial; décimo-segundo: o raio de expansão radial; décimo-terceiro: a rotação do eixo $Ox$; décimo-quarto: a rotação do eixo $Oy$; décimo-quinto: "x" para rotacionar em torno do eixo $Ox$, ou "y" para rotacionar em torno do eixo $Oy$; décimo-sexto: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

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