Seja o espaço vetorial das matrizes $2$ x $2$, mostrar que o subespaço $V$ das matrizes simétricas é $3$.

As matrizes $2$ x $2$ simétricas são do tipo $\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}$.

Notemos que há três variáveis, atribuindo $1$ a uma e $0$ às demais, teremos

$E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}$, $E_2 = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$ e $E_3 = \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

como candidatos à elementos de uma base, para tanto basta mostrar que geram $V$ e são linearmente independentes.

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

Portanto geram $V$. (I)

Determinemos os escalares $x$, $y$ e $z$ tais que $xE_1 + yE_2 + zE_3 = O$.

Encontraremos $x = y = z = 0$, portanto $E_1$, $E_2$ e $E_3$ são LI. (II)

Por (I) e (II) teremos que $\dim V = 3$.