$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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sábado, 23 de novembro de 2024

Sejam $f:\ A\ \rightarrow\ B$ e $g:\ B\ \rightarrow\ C$ transformações. Mostre que se $g \circ f$ é injetora, então $f$ também o é.

Vamos supor que $f$ não seja injetora, então existem $a_1$ e $a_2$, elementos distintos de $A$, tais que $f(a_1) = f(a_2) = b$.

$g(b) = g(f(a_1)) = g(f(a_2))\ \Rightarrow\ (g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2),\ a_1 \neq a_2$

Donde $g \circ f$ não é injetora, o que é um absurdo por hipótese. Logo $f$ é injetora.

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