Imagens linearmente independentes de uma transformação linear.

Seja $T: V \rightarrow U$ uma transformação linear do espaço vetorial $V$ no espaço vetorial $U$. Sejam $\{v_1, \dots ,v_n\}$ elementos de $V$. Mostre que, se $T(v_1)$, ..., $T(v_n)$ são linearmente independentes, então $\{v_1, \dots ,v_n\}$ é linearmente independente.

Sejam escalares $a_1$, ..., $a_n$ para os quais $0 = a_1v_1 + \dots + a_nv_n$.

$0 = T(0) = T(a_1v_1 + \dots + a_nv_n) = a_1T(v_1) + \dots + a_nT(v_n)$

Assim $a_1 = \dots = a_n = 0$ e $\{v_1, \dots ,v_n\}$ é linearmente independente.

Quod Erat Demonstrandum.