Calculadora: gráfico simétrico de superfície tridimensional por coordenadas polares com relação a um ponto.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções para "rho", separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter as superfícies, devem ser funções em "teta" e "phi"; segundo: a abscissa do ponto de referência; terceiro: a ordenada do ponto de referência; quarto: a cota do ponto de referência; quinto: "0" para não mostrar os gráficos originais, ou "1" para mostrar; sexto: um número real como valor inferior para "teta"; sétimo: um número real como valor superior para "teta"; oitavo: um número real como valor inferior para "phi"; nono: um número real como valor superior para "phi"; décimo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Exercício: acomodando uma família nas vagas disponíveis de um avião.

Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

 

Qual o número de formas distintas de se acomodar a famínia neste voo?

Associemos as vagas disponíveis às componentes de um vetor de $9$ componentes. Os possíveis valores para as componentes podem ser de $1$ a $8$, com o $8$ representando uma poltrona em branco e devendo se repetir $2$ vezes e os demais valores uma única vez.

Logo, o número de formas distindas de acomodar a família é dado por $\fbox{$\dfrac{9!}{2}$}$.

Igualdade conjunta de Antonio Vandré.

Quando dizemos que $f(x) = g(y)$, $f$ e $g$ são funções, ou seja, podem retornar um único valor. Devido a isto, a relação de igualdade é transitiva, ou seja, $a = b\ \wedge\ b = c\ \Rightarrow\ a = c$.

A propriedade transitiva não pode se manter se $f$ ou $g$ não são funções. Logo devemos utilizar uma outra relação para dizer que uma expressão pode retornar um valor ou outro, a expressão relacionada a estes valores. Tal relação é a "igualdade conjunta de Antonio Vandré", "$\avigual$".

Se $R$ pode ser tanto $a$ quanto $b$, escrevemos $R \avigual a$ ou $R \avigual b$.

Em particular, $R = a\ \Rightarrow\ R \avigual a$.

Posição real dada latência na transmissão da informação.

Seja o plano cartesiano. Seja um observador localizado em $(0, 0)$. Seja $V$ a velocidade de transmissão das informações no plano. Seja $P$ um ponto sobre o gráfico de $f$, uma função diferenciável em $x$, que se desloca a uma velocidade $v(t)$ sobre o gráfico de $f$. $t$ é o tempo.

Seja $(x_r, y_r)$ a posição real de $P$ quando este é observado em $(x_P, y_P)$.

$\begin{cases}x_r \avigual \intsup_{x_P}^{{\scriptsize \displaystyle\int_0^{\dfrac{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}{V}} v(t)\ dt}} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\ dx\\ \\ y_r = f(x_r)\end{cases}$

 

Notações. Limites superior e inferior de uma integral.

Seja $f$ uma função descontínua em um conjunto finito de pontos. Sejam $a$ e $b$ elementos de seu domínio.

$\intsup_a^S f(x)\ dx\ \avigual\ b\ \Leftrightarrow\ S = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx$

$\intinf_S^b f(x)\ dx\ \avigual\ a\ \Leftrightarrow\ S = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx$

Observemos que os limites não são únicos, por exemplo $\intsup_{\pi/2}^0 \sin x\ dx$ pode ser $\dfrac{3\pi}{2}$ ou $\dfrac{7\pi}{2}$, razão de não ser utilizada a igualdade "$=$", mas a igualdade conjunta de Antonio Vandré $\{=\}$.

Calculadora: coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do ponto; segundo: a ordenada do ponto.




Ponto em coordenadas cartesianas:

O ponto aparecerá aqui...

Calculadora: coordenadas cartesianas para coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do ponto; segundo: a ordenada do ponto.




Ponto em coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré:

O ponto aparecerá aqui...

Calculadora: coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré para coordenadas cartesianas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do ponto; segundo: a ordenada do ponto.




Ponto em coordenadas cartesianas:

O ponto aparecerá aqui...

Calculadora: coordenadas cartesianas para coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do ponto; segundo: a ordenada do ponto.




Ponto em coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré:

O ponto aparecerá aqui...

Coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré.

Observemos que a função $y = \arctan x$ "condensa" todos os reais no intervalo $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, ou seja, reduz o "tamanho" mantendo uma bijeção.

Chamam-se coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré o par $(x_{cc}, y_{cc})$ tal que $(x_{cc}, y_{cc}) = (0, 0)$ se e somente se $x = 0$ e $y = 0$ ou

$\begin{cases}x_{cc} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{2\arctan \sqrt{x^2 + y^2}}{\pi}\\ y_{cc} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{2\arctan \sqrt{x^2 + y^2}}{\pi}\end{cases}$.

Seguindo o caminho inverso:

$\begin{cases}x = \dfrac{x_{cc}}{\sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}} \cdot \tan \dfrac{\pi \sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}}{2}\\ y = \dfrac{y_{cc}}{\sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}} \cdot \tan \dfrac{\pi \sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}}{2}\end{cases}$.

 

Coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré.

Observemos que a função $y = \arctan x$ "condensa" todos os reais no intervalo $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, ou seja, reduz o "tamanho" mantendo uma bijeção.

Chamam-se coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré o par $(x_c, y_c)$ tal que

$\begin{cases}x_c = \dfrac{2\arctan x}{\pi}\\ y_c = \dfrac{2\arctan y}{\pi}\end{cases}$.

Seguindo o caminho inverso:

 

$\begin{cases}x = \tan \dfrac{\pi x_c}{2}\\ y = \tan \dfrac{\pi y_c}{2}\end{cases}$.

Um gráfico curioso. $\rho = \dfrac{1}{\theta} + 1$.

Observemos o gráfico, em coordenadas polares, de $\rho = \dfrac{1}{\theta} + 1$.

 

$\displaystyle\lim_{\theta \rightarrow +\infty} \rho = 1$

O gráfico irá sempre se aproximar da circunferência unitária, no entanto nunca a "tocará".

 

 

Taxa de variação da área de um triângulo dada a taxa de variação de um dos lados.

Seja a fórmula de Herão $A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ para o cálculo da área; seja, sem perda de generalidade o lado de medida $a$ que varia a uma velocidade $v$, ou seja, $a = vt + a_0$.

$p = \dfrac{vt + a_0 + b + c}{2}$

${\tiny \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{[v(-vt - a_0 + b + c) - v(vt + a_0 + b + c)](vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c) + (vt + a_0 + b + c)(- vt - a_0 + b + c)[v(vt + a_0 - b + c) + v(vt + a_0 + b - c)]}{8\sqrt{(vt + a_0 + b + c)(-vt - a_0 + b + c)(vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c)}}}$,

com $b + c > vt + a_0$ e $vt + a_0 > |b - c|$.

 

Calculadora: ponto reflexo de Antonio Vandré.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a função diferenciável a ser considerada, deve ser uma função em "x"; segundo: a abscissa do ponto a se encontrar a imagem; terceiro: a ordenada do ponto a se encontrar a imagem; quarto: o ponto de referência no domínio da função.




Ponto reflexo de Antonio Vandré (aproximado):

O ponto aparecerá aqui...

Meme: depois que você aprende Cálculo.

 

Ponto reflexo de Antonio Vandré.

Seja uma função diferenciável $f(x)$ em um intervalo, o ponto reflexo de Antonio Vandré é o ponto imagem de um ponto $P = (x_P, y_P)$, $P'$, resultante da reflexão de $P$ na curva $y = f(x)$ em um ponto $x_r$ no intervalo.

$P'$ será o simétrico de $P$ com relação à reta perpendicular a $y = f(x)$ em $x_r$, ou seja:

 

${\small P' = \left(2 \cdot \dfrac{f'(x_r)[f(x_r) - y_P] + x_r + [f'(x_r)]^2 x_P}{[f'(x_r)]^2 + 1} - x_P, 2 \cdot \dfrac{y_P + f'(x_r)x_r - f'(x_r)x_P + f(x_r)[f'(x_r)]^2}{[f'(x_r)]^2 + 1} - y_P\right)}$.

 

Coordenadas elípticas de Antonio Vandré.

Seja a elipse $\dfrac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$ e um ponto $(x_P, y_P)$ do plano cartesiano.

Chamam-se coordenadas elipticas de Antonio Vandré o par $(\theta_e, \rho_e)$ em que $\theta_e$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa), do ponto $(a, 0)$ ao ponto $(x_e, y_e)$ pertencente à elipse, intersecção da reta que passa por $(0, 0)$ e $(x_P, y_P)$, ao longo da elipse, ou seja,

${\tiny \theta_e\ =\ \displaystyle\int_0^{\theta_P} \sqrt{\left\{\dfrac{a(\cos u)[2a^2(\cos u)(\sin u) - 2(\cos u)(\sin u)]}{2\sqrt{(a^2 \sin^2 u + \cos^2 u)^3}} + \dfrac{a\sin u}{\sqrt{a^2\sin^2 u + \cos^2 u}}\right\}^2 + \left\{\dfrac{2\cos u}{\sqrt{a^2\sin^2 u + \cos^2 u}} - \dfrac{a(\sin u)[2a^2(\cos u)(\sin u) - 2(\cos u)(\sin u)]}{2\sqrt{(a^2 \sin^2 u + \cos^2 u)^3}}\right\}^2}\ du}$,

com $\sin \theta_P = \dfrac{y_P}{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}$ e $\cos \theta_P = \dfrac{x_P}{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}$, e $\rho_e = \sqrt{x_P^2 + y_P^2}$.

 

Coordenadas hiperbólicas de Antonio Vandré.

Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, $|x| \ge 1$, tais que $y = b\sqrt{x^2 - 1},\ b \neq 0$.

Chamam-se coordenadas hipérbolicas de Antonio Vandré o par $(b, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $x < -1$), do ponto $(x, y)$ ao ponto $\left(\dfrac{x}{|x|}, 0\right)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_{x/|x|}^x \sqrt{1 + \dfrac{b^2 u^2}{u^2 - 1}}\ du$.

 

Sejam $p$ e $q$ reais positivos, mostre a média harmônica é menor ou igual à média geométrica.

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{p}} + \dfrac{1}{\sqrt{q}}\right)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} \ge \dfrac{2}{\sqrt{pq}}\ \Rightarrow\ \underset{MH}{\underbrace{\dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}}} \le \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$

Quod Erat Demonstrandum.

Coordenadas logarítmicas de Antonio Vandré.

Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, do primeiro ou quarto quadrantes ou o ponto $(1, 0)$, tais que $y = \log_a x,\ a > 0\ \wedge\ a \neq 1$.

Chamam-se coordenadas logarítmicas de Antonio Vandré o par $(a, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $x < 1$), do ponto $(x, y)$ ao ponto $(1, 0)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_1^x \sqrt{1 + \dfrac{1}{u^2 \log^2 a}}\ du$.

 

Coordenadas exponenciais de Antonio Vandré.

Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, do primeiro ou segundo quadrantes ou o ponto $(0, 1)$, tais que $y = a^x,\ a > 0\ \wedge\ a \neq 1$.

Chamam-se coordenadas exponenciais de Antonio Vandré o par $(a, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $(x, y)$ esteja no segundo quadrante), do ponto $(x, y)$ ao ponto $(0, 1)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + a^{2u} \log^2 a}\ du$.

Calculadora: coordenadas cartesianas para coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré.

Entre com as coordenadas cartesianas, separadas por ponto e vírgula ";".




Coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré: