Área sob uma parábola com concavidade para baixo dadas as intersecções com $Ox$ e a ordenada do vértice.

Sejam $P(x)$ a parábola em questão, $a$ e $b$, $b > a$ as intersecções com $Ox$, e $y_V$ a ordenada do vértice de $[-x^2 + (a+b)x - ab]$, e $h$ a ordenada do vértice de $P(x)$, $h > 0$.

$P(x) = \dfrac{h}{y_V}[-x^2 + (a+b)x - ab]$, é a equação cartesiana de tal parábola.

$y_V = \dfrac{\Delta}{4} = \dfrac{(a+b)^2 - 4ab}{4}$

Logo $P(x) = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab}[-x^2 + (a+b)x - ab]$.

Logo a área $A$ será $A = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab} \displaystyle\int_a^b -x^2 + (a+b)x - ab\ dx = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab} \left. [-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{(a+b)x^2}{2} - abx] \right|_a^b$.

$\fbox{$A = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab}[-\dfrac{b^3}{3} + \dfrac{(a+b)b^2}{2} - ab^2 + \dfrac{a^3}{3} - \dfrac{(a+b)a^2}{2} + a^2b]$}$

Exemplo:

Sejam $a = 0$, $b = 1$, e $h = 1$:

$A = 4(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}$.

Brincando com sistemas lineares: traço da matriz incompleta dos coeficientes e elementos de raízes.

Em $\mathbb{U} = \mathcal{M}_{3x1}$,

$A \cdot X = B_i$,

para $A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 7\\ 1 & 3 & 2\\ 5 & 3 & 4\end{bmatrix}$, $B_1 = \begin{bmatrix}16\\ -5\\ 11\end{bmatrix}$, $B_2 = \begin{bmatrix}25\\ -11\\ -5\end{bmatrix}$, $B_3 = \begin{bmatrix}3\\ 5\\ -5\end{bmatrix}$.

Sejam $x_1$ o primeiro elemento da solução do sistema para $i = 1$, $z_2$ o terceiro elemento da solução do sistema para $i = 2$, e $y_3$ o segundo elemento da solução do sistema para $i = 3$.

Seja $D$ o determinante de $A$. $D = -66$.

Seja $D_1$ o determinante da matriz $A$ com a primeira coluna substituída por $B_1$, $D_1 = -198$. Por Cramer, $x_1 = 3$.

Seja $D_2$ o determinante da matriz $A$ com a terceira coluna substituída por $B_2$, $D_2 = -264$. Por Cramer, $z_2 = 4$.

Seja $D_3$ o determinante da matriz $A$ com a segunda coluna substituída por $B_3$, $D_3 = -132$. Por Cramer, $y_3 = 2$.

$A^{-1} = \dfrac{1}{D} \cdot adj\ A$, logo o traço de $A^{-1}$ é $t = \dfrac{-16}{-66} = \dfrac{8}{33}$.

$\fbox{$t + x_1 + z_2 + y_3 = \dfrac{315}{33} \approx 10$}$

Resolver sistema linear.

Em $\mathbb{U} = \mathcal{M}_{5x1}$, resolver o sistema

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 3 & 5\\ 0 & 3 & -2 & 0 & 3\\ 3 & -1 & 4 & 1 & 3\\ 2 & 1 & -4 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 5 & -2 & 1\end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 8\end{bmatrix}$.

Resolução:

Seja $A$ a matriz completa do sistema, vamos aplicar escalonamento.

$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 3 & 5 & 1\\ 0 & 3 & -2 & 0 & 3 & 2\\ 3 & -1 & 4 & 1 & 3 & 3\\ 2 & 1 & -4 & 1 & 2 & 4\\ 2 & 0 & 5 & -2 & 1 & 8\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 3 & 5 & 1\\ 0 & 1 & -2/3 & 0 & 1 & 2/3\\ 0 & -7 & 1 & -8 & -12 & 0\\ 0 & -3 & -6 & -5 & -8 & 2\\ 0 & -4 & 3 & -8 & -9 & 6\end{bmatrix} \sim$

$\sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 7/3 & 3 & 3 & -1/3\\ 0 & 1 & -2/3 & 0 & 1 & 2/3\\ 0 & 0 & -11/3 & -8 & -5 & 14/3\\ 0 & 0 & -8 & -5 & -5 & 4\\ 0 & 0 & 1/3 & -8 & -5 & 26/3\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -23/11 & -2/11 & 29/11\\ 0 & 1 & 0 & 16/11 & 21/11 & -2/11\\ 0 & 0 & 1 & 24/11 & 15/11 & -14/11\\ 0 & 0 & 0 & 137/11 & 65/11 & -68/11\\ 0 & 0 & 0 & -96/11 & -60/11 & 100/11\end{bmatrix} \sim$

$\sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1221/1507 & 2409/1507\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1837/1507 & 814/1507\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 495/1507 & -286/1507\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 65/137 & -68/137\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1980/1507 & 7172/1507\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 69/15\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 223/45\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 11/9\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -163/45\end{bmatrix}$

Donde concluímos que $\fbox{$S = \{\begin{bmatrix}68/15\\ 223/45\\ 1\\ 11/9\\ -163/45\end{bmatrix}\}$}$.

Número de subconjuntos dada a propriedade "a soma de seus elementos é ímpar".

Quantos subconjuntos de $3$ elementos podemos formar com os elementos de $C = \{2, 3, 6, 7, 9, 11, 16, 22, 56, 87, 243, 301\}$ com a característica "a soma de seus elementos é ímpar"?

Resolução:

Observemos que em $C$ há $5$ números pares e $7$ números ímpares.

Observemos também que, para que uma soma de $3$ parcelas seja ímpar, $2$ parcelas devem ser pares e $1$ ímpar, ou as $3$ parcelas devem ser ímpares.

Logo, o número de subconjuntos procurados é $\displaystyle{{5 \choose 2} \cdot 7 + {7 \choose 3}} = \fbox{$105$}$.

Decomposição de frações com binômios no denominador em frações parciais.

Sejam $p, r \in \mathbb{R}[x]$, $a \in \mathbb{R}$ com $r(a) \neq 0$ e $n \in \mathbb{N}$. Então existem $B \in \mathbb{R}$ e $q \in \mathbb{R}[x]$ tais que

$\dfrac{p(x)}{r(x)(x - a)^n} = \dfrac{q(x)}{r(x)(x - a)^{n-1}} + \dfrac{B}{(x - a)^n}$.

Resolução:

Basta mostrar que $p(x) = q(x)(x - a) + Br(x)$.

Definamos $B = \dfrac{p(a)}{r(a)}$. Definamos também $h(x) = p(x) - Br(x)$.

Obviamente $h(a) = 0$, logo, por D'Alembert, $h(x) = q(x)(x - a)$.

Logo $p(x) = q(x)(x - a) + Br(x)$.

C.Q.D.

Região entre os gráficos de $y = x^3$ e $y = -2x^2$.

Esboce a região finita $R$ entre os gráficos de $y = x^3$ e $y = -2x^2$.

a) Calcule a área da região $R$.

b) Determine o volume do sólido $E$ obtido com a rotação da região $R$ em torno da reta $y = 2$.

Resolução:

Inicialmente vamos encontrar as intersecções entre os gráficos.

$x^3 + 2x^2 = 0\ \Rightarrow\ \text{Os pontos são}\ (0, 0)\ \text{e}\ (-2, -8)$

A área é $\left| \displaystyle\int_{-2}^0 (x^3 + 2x^2)\ dx \right|  = \left| \left. (\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{2x^3}{3})\right|_{-2}^0 \right| = \fbox{$\dfrac{4}{3}$}$

O volume procurado é $\pi \left| \displaystyle\int_{-2}^0 [(x^3 - 2)^2 - (-2x^2 - 2)^2]\ dx \right| = \pi \left| \left. (\dfrac{x^7}{7} - x^4 + 4x - \dfrac{4x^5}{5} - \dfrac{8x^3}{3} - 4x) \right|_{-2}^0 \right| = \fbox{$\dfrac{1328\pi}{105}$}$

Equação matricial.

Seja $\mathbb{U} = \mathcal{M}_{2x1}$, resolver a equação

$\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix}13\\ 31\end{bmatrix}$.

Resolução:

Seja $X = \begin{bmatrix}a\\ b\end{bmatrix}$,

$\begin{cases}a + 2b = 13\\ 3a + 4b = 31\end{cases}\ \Rightarrow \fbox{$X = \begin{bmatrix}5\\ 4\end{bmatrix}$}$.

Determinar o volume de $4$ nódulos resultantes da rotação da função $y = \sin x$ em torno do eixo $x$.

Determinar o volume de $4$ nódulos resultantes da rotação da função $y = \sin x$ em torno do eixo $x$.

Resolução:

$V = 4\pi \displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\ dx = 4 \displaystyle\int_0^{\pi} \dfrac{1 - \cos 2x}{2}\ dx = \left. [2x - \sin(2x)] \right|_0^{\pi} = \fbox{$2\pi$}$

Calcular $I = \displaystyle\int x^2 e^x \cos x\ dx$.

Calculemos inicialmente $J = \displaystyle\int e^x \cos x\ dx$.

Aplicando "por partes":

$J = e^x \cos x + \displaystyle\int e^x \sin x\ dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \underset{J}{\underbrace{\displaystyle\int e^x \cos x\ dx}}$

$2J = e^x(\cos x + \sin x)\ \Rightarrow\ J = \dfrac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + c_1$

Calculemos também inicialmente $K = \displaystyle\int e^x \sin x\ dx$.

Aplicando "por partes":

$K = e^x \sin x - \displaystyle\int e^x \cos x\ dx = e^x \sin x - e^x \cos x - \underset{K}{\underbrace{\displaystyle\int e^x \sin x\ dx}}$

$2K = e^x(\sin x - \cos x)\ \Rightarrow\ K = \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + c_2$

Também é útil saber $L = \displaystyle\int J\ dx$:

$L = \dfrac{J + K}{2} + c_1x$

Também é útil saber $M = \displaystyle\int K\ dx$:

$M = \dfrac{K - J}{2} + c_2x$

Continuando, aplicando "por partes" em $I$:

$I = x^2\dfrac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} - \displaystyle\int xe^x(\cos x + \sin x)\ dx = x^2\dfrac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} -$

$- xJ - xK + \underset{L + M}{\underbrace{\displaystyle\int J + K\ dx}}$

Logo $\fbox{$\displaystyle\int x^2 e^x \cos x\ dx = x^2\dfrac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} - xe^x \sin x + \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + c$}$.

Calcular $I = \displaystyle\int (\sin x) \log (\cos x)\ dx$.

Seja $u = \cos x$, com $x \in [0, \dfrac{\pi}{2}[$, $du = -\sin x\ dx$.

$I = -\displaystyle\ \log u\ du$

Aplicando "por partes":

$I = -u\log u + \displaystyle\int \dfrac{u}{u} du = c + u - u\log u = \fbox{$\cos x - (\cos x)(\log \cos x) + c$}$

Encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de $y = \dfrac{1}{x}$ em torno do eixo $x$, com $x \in [1, 5]$.

Encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de $y = \dfrac{1}{x}$ em torno do eixo $x$, com $x \in [1, 5]$.

Resolução:

O volume será dado por $V = \pi \displaystyle\int_1^5 \dfrac{dx}{x^2}$.

$V = \left. -\dfrac{\pi}{x} \right|_1^5 = -\dfrac{\pi}{5} + \pi = \fbox{$\dfrac{4\pi}{5}$}$

Mostre que a soma dos $n$ primeiros inteiros positivos é $\dfrac{n^2 + n}{2}$.

Mostre que a soma dos $n$ primeiros inteiros positivos é $\dfrac{n^2 + n}{2}$.

Para $n = 1$, $\dfrac{1^2 + 1}{2} = 1$.

Vamos supor que a identidade seja verdadeira para $p$:

$S_p = \dfrac{p^2 + p}{2}$

$S_p + (p + 1) = \dfrac{p^2 + p}{2} + (p + 1)$

$S_{p + 1} = \dfrac{p^2 + p + 2p + 2}{2} = \dfrac{p^2 + 2p  + 1 + p + 1}{2} = \dfrac{(p + 1)^2 + (p + 1)}{2}$

Donde concluímos que a identidade é válida para $p + 1$. Logo, por indução finita, é válida para todo $n$.

C.Q.D.

Sejam $x, y \in \mathbb{R}_+^*$ e $a \in \mathbb{R}_+^* - \{1\}$, demonstrar $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$.

Sejam $x, y \in \mathbb{R}_+^*$ e $a \in \mathbb{R}_+^* - \{1\}$, demonstrar $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$.

Resolução:

Chamemos $L_1 = \log_a x$ e $L_2 = \log_a y$.

$x = a^{L_1}$ e $y = a^{L_2}$

$xy = a^{L_1} \cdot a^{L_2} = a^{L_1 + L_2}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \log_a xy = L_1 + L_2\ \Rightarrow\ \fbox{$\log_a xy = \log_a x + \log_a y$}$

C.Q.D.

Número de cordas e triângulos em uma circunferência.

Seja uma circunferência com os seguintes pontos destacados:

a) Quantas cordas podemos construir com os pontos dados?

b) Quantos triângulos podemos construir com tais pontos?

Resolução:

Se os pontos estão em uma circunferência, não há $3$ colineares, logo teremos

$\fbox{$\displaystyle{8 \choose 2} = 28$ cordas distintas}$,

e

$\fbox{$\displaystyle{8 \choose 3} = 56$ triângulos distintos}$.

Mostre que o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo são equivalentes.

Pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, se $F$ é uma primitiva de $f$, então $F'(x) = f(x)$.

$[F(x) - \underset{\text{Constante}}{\underbrace{F(a)}}]' = f(x)$

$\dfrac{d}{dx}[\displaystyle\int_a^x f(t)\ dt] = f(x)$

$\fbox{$\displaystyle\int_a^x f(t)\ dt = F(x)$}$, que é o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo.

C.Q.D.

Coração em equações cartesianas.

 

Segundo Teorema Fundamental do Cálculo.

Seja $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e considere a função $g(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\ dt$. Mostre que $g'(x) = f(x)$.

Resolução:

Seja $F$ uma primitiva de $f$.

$g(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\ dt = F(x) - \underset{\text{Constante}}{\underbrace{F(a)}}$

Derivando ambos os membros com relação a $x$:

$g'(x) = f(x)$

C.Q.D.

Seja $f:\ \mathbb{R} \rightarrow [a, +\infty[$, contínua e suponha que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = L$. Prove que $\displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = L$.

Seja $f:\ \mathbb{R} \rightarrow [a, +\infty[$, contínua e suponha que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = L$. Prove que

$\displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = L$.

Resolução:

Seja $F$ uma primitiva de $f$.

$\displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = \displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} \dfrac{F(b) - F(a)}{b - a}$, que chamaremos de $Q$.

$\displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} \dfrac{F(b) - F(a)}{b - a} = Q$

$\displaystyle\lim_{a \rightarrow b} \displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} \dfrac{F(b) - F(a)}{b - a} = \displaystyle\lim_{a \rightarrow b} Q$

$\displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} \displaystyle\lim_{a \rightarrow b} \dfrac{F(b) - F(a)}{b - a} = Q$

$\displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} f(b) = Q$

$L = Q$

C.Q.D.

Teorema do Valor Médio para Integrais.

Mostre que se $f:\ [a, b]\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ é contínua, então existe $c \in [a, b]$ tal que

$\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = f(c)(b - a)$.

Resolução:

O Teorema do Valor Médio afirma: seja  $g$ uma função contínua em $[a, b]$ e derivável em $(a, b)$, então, existe $c \in (a, b)$ tal que

$g'(c) \cdot (b - a) = g(b) - g(a)$.

$g'(c) \cdot (b - a) = \displaystyle\int_a^b g'(x)\ dx$

Seja $f(x) = g'(x)$:

$\fbox{$\displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = (b - a)f(c)$}$

C.Q.D.

Valor de uma função dadas certas condições e uma integral.

Seja $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função duas vezes continuamente diferenciável, isto é, $f$, $f'$ e $f''$ são contínuas. Determine o valor de $f(0)$ sabendo que $f(\pi) = 2$ e que

$\displaystyle\int_0^{\pi} (f(x) + f''(x))\sin x\ dx\ =\ 5$.

Resolução:

Seja $I = \displaystyle\int (f(x) + f''(x))\sin x\ dx$.

$I = \displaystyle\int f(x) \cdot \sin x\ dx\ +\ \displaystyle\int f''(x) \cdot \sin x\ dx\ =$

$= -f(x) \cdot \cos x + \cancel{\displaystyle\int f'(x) \cdot \cos x\ dx}\ +\ f'(x) \cdot \sin x\ \cancel{- \displaystyle\int f'(x) \cdot \cos x\ dx}\ =$

$= -f(x) \cdot \cos x + f'(x) \cdot \sin x\ + c$

Logo $\displaystyle\int_0^{\pi} (f(x) + f''(x))\sin x\ dx\ =\ \left. (-f(x) \cdot \cos x + f'(x) \cdot \sin x)\ \right|_0^{\pi}\ =\ 2 + f(0)$.

$\displaystyle\int_0^{\pi} (f(x) + f''(x))\sin x\ dx\ =\ 5\ \Rightarrow\ 2 + f(0) = 5\ \Rightarrow\ \fbox{$f(0) = 3$}$

Integral do arco-tangente.

$\displaystyle\int \arctan x\ dx\ \overset{\text{Por partes}}=\ x \cdot \arctan x - \underset{I}{\underbrace{\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2 + 1} dx}}$

Seja $u = x^2 + 1$, $du = 2x\ dx$.

$I = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int \dfrac{du}{u} = \dfrac{\log |u|}{2} + c = \dfrac{\log |x^2 + 1|}{2} + c = \dfrac{\log (x^2 + 1)}{2} + c$

Logo, $\fbox{$\displaystyle\int \arctan x\ dx\ =\ x \cdot \arctan x - \dfrac{\log (x^2 + 1)}{2} + C$}$.

Qual a distância entre a reta $r:\ 2x - y + 1$ e o ponto $P(2, 1)$?

Qual a distância entre a reta $r:\ 2x - y + 1$ e o ponto $P(2, 1)$?

Resolução:

$d_{rP} = \dfrac{|2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} = \fbox{$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$}$

Quantos números podemos formar com a multiplicação de $3$ dos fatores primos de $2730$?

Quantos números podemos formar com a multiplicação de $3$ dos fatores primos de $2730$?

Resolução:

$2730 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

Como os fatores são em número de $5$, e sabendo que a multiplicação é comutativa, existirão $\displaystyle{5 \choose 3}$ produtos distintos.

$\displaystyle{5 \choose 3} = \dfrac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \fbox{$10$}$

Calcular $I = \displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{6}} \tan^2 2x\ dx$.

$I = \displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{6}} [(\sec^2 2x) - 1]\ dx = \left. (\dfrac{\tan 2x}{2} - x)\right|_0^{\dfrac{\pi}{6}} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\pi}{6}$}$

Demonstração da irracionalidade de $\sqrt{2}$.

Visando chegar a uma contradição, vamos supor que $\sqrt{2}$ seja racional, ou seja, $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q},\ p,q \in \mathbb{Q},\ q \neq 0,\ \dfrac{p}{q}\text{ fração irredutível}$.

$2 = \dfrac{p^2}{q^2}\ \Rightarrow\ p^2 = 2q^2$ (I)

Por (I), $p$ deve ser par, logo podemos escrever, para um $s$ inteiro, $p = 2s$.

$p = 2s\ \wedge\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ 4s^2 = 2q^2\ \Rightarrow\ 2s^2 = q^2\ \Rightarrow\ q\text{ é par.}$ (II)

(II) é um absurdo, pois, por hipótese, $\dfrac{p}{q}$ é uma fração irredutível.

Logo, $\sqrt{2}$ é irracional.

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \cos^3 x\ dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int (\cos x)(1 - \sin^2 x)\ dx$.

Seja $u = \sin x$, $du = \cos x\ dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int (1 - u^2)\ du\ =\ u - \dfrac{u^3}{3} + c$.

Logo $\fbox{$\displaystyle\int \cos^3 x\ dx\ =\ \sin x - \dfrac{\sin^3 x}{3} + c$}$.

Determinar a área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas $y = x$ e $x = 2$, a curva $y = \dfrac{1}{x^2}$, e o eixo $x$.

Determinar a área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas $y = x$ e $x = 2$, a curva $y = \dfrac{1}{x^2}$, e o eixo $x$.

Resolução:

Observemos que as intersecções entre os gráficos são $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 0)$, e $(2, \dfrac{1}{4})$.

Seja $A$ a área procurada.

$A\ =\ \displaystyle\int_0^1 x\ dx + \displaystyle\int_1^2 \dfrac{dx}{x^2}$

$A = \left. \dfrac{x^2}{2}\right|_0^1 + \left. \dfrac{-1}{x}\right|_1^2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 1 = \fbox{$1$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int e^{2\theta} \sin 3\theta\ d\theta$.

Aplicando "por partes":

$I\ =\ \dfrac{e^{2\theta} \sin 3\theta}{2} - \dfrac{3}{2}\displaystyle\int e^{2\theta} \cos 3\theta\ d\theta$

Aplicando "por partes" novamente:

$I\ =\ \dfrac{e^{2\theta} \sin 3\theta}{2} - \dfrac{3}{4} e^{2\theta} \cos 3\theta - \dfrac{9}{4}\underset{I}{\underbrace{\displaystyle\int e^{2\theta} \sin 3\theta\ d\theta}}$

$(1 + \dfrac{9}{4})I = \dfrac{e^{2\theta} \sin 3\theta}{2} - \dfrac{3}{4} e^{2\theta} \cos 3\theta$

Logo $\fbox{$\displaystyle\int e^{2\theta} \sin 3\theta\ d\theta\ =\ \dfrac{2e^{2\theta} \sin 3\theta - 3e^{2\theta} \cos 3\theta}{13} + c$}$.

Calcular $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{y^2}{\sqrt{4 - 3y}} dy$.

Seja $I = \displaystyle\int \dfrac{y^2}{\sqrt{4 - 3y}} dy$.

Aplicando "por partes":

$I = \dfrac{-2\sqrt{4 - 3y} \cdot y^2}{3} + \dfrac{4}{3} \displaystyle\int y\sqrt{4 - 3y}\ dy $

Aplicando "por partes" novamente:

$I = \dfrac{-2\sqrt{4 - 3y} \cdot y^2}{3} - \dfrac{8}{27} \sqrt{(4 - 3y)^3} \cdot y - \dfrac{16}{405} \sqrt{(4 - 3y)^5} + c$

$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{y^2}{\sqrt{4 - 3y}} dy = \left. \left[ \dfrac{-2\sqrt{4 - 3y} \cdot y^2}{3} - \dfrac{8}{27} \sqrt{(4 - 3y)^3} \cdot y - \dfrac{16}{405} \sqrt{(4 - 3y)^5} \right] \right|_0^1 =$

$= -\dfrac{2}{3} - \dfrac{8}{27} - \dfrac{16}{405} + \dfrac{512}{405} = \fbox{$\dfrac{106}{405}$}$

Encontrar a área entre os gráficos de $2\sin x$ e $\sin 2x$, $0 \le x \le \pi$.

Encontrar a área entre os gráficos de $2\sin x$ e $\sin 2x$, $0 \le x \le \pi$.

Resolvendo a equação $2\sin x\ =\ \sin 2x$:

$2\sin x\ =\ 2(\sin x)(\cos x)$

Duas soluções são $x = 0$ e $x = \pi$. Para $x \neq 0$ e $x \neq \pi$, $\cos x\ =\ 1$, que não tem solução no universo considerado.

Logo, sendo $A$ a área procurada, $A\ =\ \left| \displaystyle\int_0^\pi [2\sin x\ - 2(\sin x)(\cos x)]\ dx \right|\ =\ 2\left| \displaystyle\int_0^\pi (\sin x)(1 - \cos x)\ dx \right|$.

Seja $u = 1 - \cos x$, $du = \sin x\ dx$.

$A = 2\left| \displaystyle\int_0^2 u\ du \right| = 2 \left| \left. \dfrac{u^2}{2} \right|_0^2 \right| = \left| \left. u^2 \right|_0^2 \right| = \fbox{$4$}$

Teorema de Tales.

Determinar $x$.

Resolução:

Seja $\overleftrightarrow{r} \parallel \overleftrightarrow{s} \parallel \overleftrightarrow{t}$, $\overleftrightarrow{u} \not{\parallel} \overleftrightarrow{r}$ e $\overleftrightarrow{v} \not{\parallel} \overleftrightarrow{r}$. Pelo Teorema de Tales, $\dfrac{x+2}{x} = \dfrac{6}{3}$.

$x+2 = 2x\ \therefore \fbox{$x = 2$}$

Determinar a área do triângulo $\Delta ABC$.

Uma das fórmulas da área de um triângulo é $A = \dfrac{ab}{2}\sin \theta$, sendo $\theta$ o ângulo compreendido entre os lados adjacentes $a$ e $b$.

$A = \dfrac{6 \cdot 9}{2}\sin \dfrac{\pi}{6} = \fbox{$\dfrac{27}{2}$}$